Anh X và chị Z chung sống với nhau và sinh được cháu K và cháu Z, vậy cháu K và Z là con:

Theo quy định của Luật Hộ tịch, việc đăng ký khai sinh cho trẻ em được thực hiện tại UBND cấp xã nơi cư trú của người mẹ (nếu người mẹ chưa thành niên) hoặc người cha. Trong trường hợp này, anh T và vợ cư trú tại phường X, thị trấn K. Vì vậy, anh T cần đến UBND phường X để đăng ký khai sinh cho con.

Câu hỏi kiểm tra thẩm quyền đăng ký nhận cha, mẹ, con trong nước. Theo quy định của pháp luật Việt Nam, thẩm quyền đăng ký nhận cha, mẹ, con được thực hiện tại Ủy ban nhân dân cấp xã nơi cư trú của một trong các bên (người nhận hoặc người được nhận). Phương án 4 nêu rõ điều này: "UBND cấp xã nơi cư trú của người nhận hoặc người được nhận cha, mẹ, con thực hiện." Các phương án khác không chính xác. UBND cấp tỉnh thường có thẩm quyền trong các vấn đề hành chính lớn hơn. UBND nơi người được nhận cha, mẹ, con không đầy đủ vì cần có sự đồng thuận của người nhận hoặc người được nhận tại nơi cư trú. UBND nơi cư trú của người nhận hoặc người được nhận là đúng nhưng chưa đủ ý vì cần nhấn mạnh là UBND cấp xã.

Câu hỏi kiểm tra về thẩm quyền giải quyết thủ tục đăng ký nhận con nuôi của công dân Việt Nam đang sinh sống, làm việc hoặc tạm trú ở nước ngoài. Theo quy định của pháp luật Việt Nam về việc ghi nhận việc nuôi con nuôi thực tế ở nước ngoài, các trường hợp công dân Việt Nam nhận con nuôi ở nước ngoài hoặc người nước ngoài nhận con nuôi là công dân Việt Nam cần được đăng ký tại Cơ quan đại diện nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam ở nước ngoài. Điều này đảm bảo tính pháp lý và sự công nhận của Nhà nước Việt Nam đối với quan hệ cha mẹ - con nuôi, cũng như các quyền và nghĩa vụ liên quan.

Phân tích các phương án:
1. Đại sứ quán của nước công dân đang tạm trú: Sai. Đại sứ quán của nước công dân đang tạm trú (trong trường hợp này là Mỹ) không có thẩm quyền giải quyết thủ tục theo pháp luật Việt Nam.
2. Cơ quan nơi công dân Việt Nam đang làm việc: Sai. Cơ quan nơi làm việc không phải là cơ quan có thẩm quyền đăng ký nuôi con nuôi theo quy định pháp luật quốc tế và pháp luật Việt Nam.
3. Cơ quan đại diện nước CHXHCN Việt Nam ở nước ngoài: Đúng. Đây là cơ quan có thẩm quyền thực hiện các thủ tục hành chính liên quan đến công dân Việt Nam ở nước ngoài, bao gồm cả việc đăng ký nhận con nuôi.
4. Cơ quan đại diện nước sở tại nơi công dân đang tạm trú: Sai. Cơ quan đại diện của nước sở tại (Mỹ) chỉ giải quyết các vấn đề theo pháp luật của nước họ, không có thẩm quyền giải quyết thủ tục theo pháp luật Việt Nam.

Theo quy định tại Điều 36 Luật Nuôi con nuôi 2010 của Việt Nam, việc đăng ký nuôi con nuôi trong trường hợp cha mẹ nuôi và con nuôi cùng thường trú tại Việt Nam phải được thực hiện tại Ủy ban nhân dân cấp xã nơi thường trú của cha mẹ nuôi hoặc người được nhận làm con nuôi. Trong trường hợp này, chị E và X cùng sinh sống tại Việt Nam và chị E nhận nuôi X. Do đó, thủ tục đăng ký nhận nuôi con nuôi cần được thực hiện tại UBND xã nơi thường trú của chị E và X. Phương án 1 là đáp án đúng.

Theo Điều 13 Luật Hộ tịch năm 2014, thẩm quyền đăng ký khai sinh thuộc về Ủy ban nhân dân xã, phường, thị trấn nơi cư trú của cha hoặc mẹ. Trong trường hợp cha, mẹ không có nơi cư trú ổn định, thì UBND xã, phường, thị trấn nơi trẻ đang sinh sống thực hiện đăng ký khai sinh. Như vậy, đáp án 'UBND xã, phường nơi cư trú của cha, mẹ' là đáp án chính xác nhất. Các đáp án khác không hoàn toàn chính xác vì không bao quát hết các trường hợp hoặc không đúng theo quy định của pháp luật.