Câu hỏi:

Hàm số y = $\frac{x}{x-m}$ xác định khi và chỉ khi x ≠ m.

Do đó để hàm số đã cho xác định trên khoảng (0; 5)

⇔ m ∉ (0; 5).

Do đó m ≤ 0 hoặc m ≥ 5.

Đáp án đúng là: D

Quan sát đồ thị, theo chiều từ trái sang phải; nếu đồ thị đi lên trong khoảng nào đó thì hàm số sẽ đồng biến trong khoảng đó, hoặc nếu đồ thị đi xuống trong khoảng nào thì hàm số sẽ nghịch biến trong khoảng đó.

Ta thấy:

+ Trên khoảng (‒∞; ‒1) đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến.

+ Trên khoảng (‒1; 1) thì giá trị của hàm số không đổi y = 1 nên hàm số không đồng biến, không nghịch biến.

+ Trên khoảng (1; +∞) đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải nên hàm số đồng biến.

Đáp án đúng là: C

Đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c (với a ≠ 0) trong trường hợp a > 0 thì hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;-\frac{b}{2a}\right)$ và đồng biến trên khoảng $\left(-\frac{b}{2a};+\infty \right)$; trong trường hợp a < 0 thì hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;-\frac{b}{2a}\right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-\frac{b}{2a};+\infty \right)$.

Với hàm số y = 2x² – 4x + 1 có a = 2 > 0, b = ‒4 nên hàm số nghịch biến trên khoảng (‒∞; 1) và đồng biến trên khoảng (1; +∞).

Đáp án đúng là: B

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c (với a ≠ 0) là một parabol (P) có đỉnh S với hoành độ $x_S=-\frac{b}{2a}$, tung độ $y_S=-\frac{\Delta }{4a}$; (Δ = b² – 4ac)

Câu A: Hàm số y = 2x² + 1 có các hệ số a = 2, b = 0, c = 1 nên có tọa độ đỉnh S(0; 1).

Câu B: Hàm số y = x² – 2x + 1 có các hệ số a = 1, b = ‒2, c = 1 nên có tọa độ đỉnh S(1; 0).

Câu C: Hàm số y = x² có các hệ số a = 1; b = 0, c = 0 nên có tọa độ đỉnh S(0; 0).

Câu D: Hàm số y = 2x² ‒ 1 có các hệ số a = 2; b = 0, c = ‒1 nên có tọa độ đỉnh S(0; ‒1).

Đáp án đúng là: B

Tam giác ACD vuông tại D: $\cos \widehat{CAD}=\frac{AD}{AC}$.

Tam giác ABC vuông tại B: $\cos \widehat{CAB}=\frac{AB}{AC}$.

Ta có $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}.\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$.

$=AC.AD.\cos \widehat{CAD}-AC.AB.\cos \widehat{CAB}$

$=AC.AD.\frac{AD}{AC}-AC.AB.\frac{AB}{AC}$

= AD² – AB² = 1 – 2 = –1.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có CD = AB = $\sqrt{2}$ và AC = BD.

Tam giác ACD vuông tại D: AC² = AD² + CD² (Định lý Pytago)

$\iff A{C}^2=1^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2=3$

$\Rightarrow AC=\sqrt{3}$.

Do đó BD = AC = $\sqrt{3}$.

Lại có: $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=AC.BD.\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\right)$

$\iff -1=\sqrt{3}.\sqrt{3}.\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\right)$

$\iff \cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\right)=\frac{-1}{3}$.

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\right)\approx 109°{28}^{\text{'}}$.

Đáp án đúng là: C