Câu hỏi:

Tam giác ACD vuông tại D: $\cos \widehat{CAD}=\frac{AD}{AC}$.

Tam giác ABC vuông tại B: $\cos \widehat{CAB}=\frac{AB}{AC}$.

Ta có $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}.\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$.

$=AC.AD.\cos \widehat{CAD}-AC.AB.\cos \widehat{CAB}$

$=AC.AD.\frac{AD}{AC}-AC.AB.\frac{AB}{AC}$

= AD² – AB² = 1 – 2 = –1.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có CD = AB = $\sqrt{2}$ và AC = BD.

Tam giác ACD vuông tại D: AC² = AD² + CD² (Định lý Pytago)

$\iff A{C}^2=1^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2=3$

$\Rightarrow AC=\sqrt{3}$.

Do đó BD = AC = $\sqrt{3}$.

Lại có: $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=AC.BD.\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\right)$

$\iff -1=\sqrt{3}.\sqrt{3}.\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\right)$

$\iff \cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\right)=\frac{-1}{3}$.

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\right)\approx 109°{28}^{\text{'}}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\widehat{BAC}=\hat{A}$.

Tam giác ABC đều nên $\hat{A}=60°$.

Do đó $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\hat{A}=60°$.

Suy ra $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=a.a.\cos 60°=\frac{a^2}{2}$.

Đáp án đúng là: D

Trong các câu trên chỉ có “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam” là mệnh đề, Câu A và câu D không phải là một khẳng định, câu C là câu hỏi.

Đáp án đúng là: B

Câu A là mệnh đề chứa biến x, các câu B, C, D đều là mệnh đề không chứa biến.

Đáp án đúng là: A

- Chỉ khi cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng thì ta mới suy ra 2 mệnh đề này tương đương.

- Nếu cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều sai thì ta không thể suy ra được gì từ mối quan hệ giữa hai mệnh đề này.

Đáp án đúng là: D