Câu hỏi:
Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho vectơ \(\overrightarrow a = \left( {0; - 1;1} \right),\,\,\overrightarrow b = \left( { - 1;0; - m} \right)\). Có bao nhiêu giá trị thực của \(m\) để góc giữa vectơ \(\overrightarrow a \) và vectơ \(\overrightarrow b \) bằng \(60^\circ \)?
C. \(2\).
D. \(3\).
Trả lời:
Đáp án đúng: B
Ta có công thức tính góc giữa hai vector $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ là: $\cos(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{\overrightarrow a . \overrightarrow b }{|\overrightarrow a |. |\overrightarrow b |}$.
Trong bài toán này, ta có:
$\overrightarrow a = (0; -1; 1)$ và $\overrightarrow b = (-1; 0; -m)$.
Suy ra $\overrightarrow a . \overrightarrow b = 0*(-1) + (-1)*0 + 1*(-m) = -m$.
$|\overrightarrow a | = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$|\overrightarrow b | = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-m)^2} = \sqrt{1 + m^2}$.
$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
Vậy, $\frac{1}{2} = \frac{-m}{\sqrt{2}.\sqrt{1 + m^2}} \Leftrightarrow \sqrt{2(1 + m^2)} = -2m$.
Vì $\sqrt{2(1 + m^2)} > 0$ nên $-2m > 0 \Rightarrow m < 0$.
Bình phương hai vế, ta được:
$2(1 + m^2) = 4m^2 \Leftrightarrow 2 + 2m^2 = 4m^2 \Leftrightarrow 2m^2 = 2 \Leftrightarrow m^2 = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1$.
Vì $m < 0$ nên $m = -1$. Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn.
Trong bài toán này, ta có:
$\overrightarrow a = (0; -1; 1)$ và $\overrightarrow b = (-1; 0; -m)$.
Suy ra $\overrightarrow a . \overrightarrow b = 0*(-1) + (-1)*0 + 1*(-m) = -m$.
$|\overrightarrow a | = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$|\overrightarrow b | = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-m)^2} = \sqrt{1 + m^2}$.
$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
Vậy, $\frac{1}{2} = \frac{-m}{\sqrt{2}.\sqrt{1 + m^2}} \Leftrightarrow \sqrt{2(1 + m^2)} = -2m$.
Vì $\sqrt{2(1 + m^2)} > 0$ nên $-2m > 0 \Rightarrow m < 0$.
Bình phương hai vế, ta được:
$2(1 + m^2) = 4m^2 \Leftrightarrow 2 + 2m^2 = 4m^2 \Leftrightarrow 2m^2 = 2 \Leftrightarrow m^2 = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1$.
Vì $m < 0$ nên $m = -1$. Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
