Câu hỏi:

a) Đúng. Đường thẳng AB có dạng \(\mathrm{y}=\mathrm{ax}+\mathrm{b}(\mathrm{a}>0)\), đi qua \(\mathrm{A}(0 ; 1)\) và \(\mathrm{B}(2 ; 2)\).

Ta có \(\left\{\begin{array}{l}1=\mathrm{a} \cdot 0+\mathrm{b} \\ 2=\mathrm{a} \cdot 2+\mathrm{b}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=\frac{1}{2} \\ \mathrm{~b}=1\end{array} \Rightarrow \mathrm{y}=\frac{1}{2} \mathrm{x}+1\right.\right.\).

Vậy hình phẳng \((\mathrm{H})\) được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\mathrm{y}=\frac{1}{2} \mathrm{x}+1, \mathrm{Ox}, \mathrm{Oy}, \mathrm{x}=2\).

b) Sai. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay (H) quanh Ox là \(\mathrm{V}=\pi \int_0^2\left(\frac{1}{2} \mathrm{x}+1\right)^2 \mathrm{dx}\)

c) Sai. Diện tích hình phẳng (H) là \(\mathrm{V}=\int_0^2\left|\frac{1}{2} \mathrm{x}+1\right| \mathrm{dx}=\int_0^2\left(\frac{1}{2} \mathrm{x}+1\right) \mathrm{dx}=3\) (đvdt).

d) Đúng. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay (H) quanh Ox là \(V = \pi \int_{0}^{2} (\frac{1}{2}x + 1)^2 dx = \frac{14\pi}{3}\) (đvdt).

a) Sai. Phương trình mặt cầu (S) tâm \(I(-2;1;5)\), bán kính bằng 3 là:

\((x+2)^2+(y-1)^2+(z-5)^2 = 3^2 \Leftrightarrow (x+2)^2+(y-1)^2+(z-5)^2 = 9\).

b) Đúng. \(\mathrm{IA}=\sqrt{(10+2)^2+(1-1)^2+(2-5)^2}=3 \sqrt{17}>3\) nên điểm A nằm ngoài mặt cầu.

c) Đúng. \(\mathrm{IB}=\sqrt{(0+2)^2+(1-1)^2+(4-5)^2}=\sqrt{5}<3\) nên điểm B nằm trong mặt cầu.

Vì A nằm ngoài mặt cầu, B nằm trong mặt cầu nên đường thẳng AB cắt mặt cầu (S).

d) Sai. Ta có \(\vec{AB}=(-10;0;2)\), \(\vec{AC} = (-10;2;2)\).

Mặt phẳng (ABC) có vecto pháp tuyến là:

\(\vec{n} = [\vec{AB},\vec{AC}] = \left( \left| \begin{matrix} 0 & 2 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right|; \left| \begin{matrix} 2 & -10 \\ 2 & -10 \end{matrix} \right|; \left| \begin{matrix} -10 & 0 \\ -10 & 2 \end{matrix} \right| \right) = (-4;0;-20)\).

Phương trình mặt phẳng (ABC) là \(-4(x-0)+0(y-1)-20(z-4)=0\)

\(\Leftrightarrow-4 x-20 z+80=0 \Leftrightarrow x+5 z-20=0\).

Ta có \(\mathrm{d}(\mathrm{I},(\mathrm{ABC}))=\frac{|1 .(-2)+0.1+5.5-20|}{\sqrt{1^2+0^2+5^2}}=\frac{3 \sqrt{26}}{26}\).

Vậy (S) cắt mặt phẳng (ABC) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính:

\(\sqrt{\mathrm{R}^2-\mathrm{d}^2(\mathrm{I},(\mathrm{ABC}))}=\sqrt{9-\frac{9}{26}}=\frac{15 \sqrt{26}}{26}\)

Đổi: \(360\ km/h =  100\ m/s\).

Gọi parabol biểu diễn vận tốc trong 2 giây đầu là \(y=at^2 +bt+c\) (\(a > 0\)).

Parabol đi qua điểm có tọa độ \((0;0)\), \((2;60)\) và đỉnh có tọa độ \((0;0)\), do đó ta có hệ:

\(\left\{\begin{array}{l}0=\mathrm{a} \cdot 0^2+\mathrm{b} \cdot 0+\mathrm{c} \\ 60=\mathrm{a} \cdot 2^2+\mathrm{b} \cdot 2+\mathrm{c} \Leftrightarrow \\ -\frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}}=0\end{array}\right.\)\(\left\{\begin{array}{l}0=c \\ 60=4 a+2 b+c \Leftrightarrow \\ b=0\end{array}\right.\)\(\left\{\begin{array}{l}0=c \\ \mathrm{a}=15 \\ \mathrm{~b}=0\end{array} \Rightarrow \mathrm{y}=\mathrm{v}(\mathrm{t})=15 \mathrm{t}^2\right.\).

Gọi đường thẳng biểu diễn tốc độ từ giây thứ 2 đến giây thứ 3 là \(\mathrm{y}=\mathrm{mt}+\mathrm{n}(\mathrm{m}>0)\).

Đường thẳng đi qua các điểm có tọa độ \((2 ; 60)\) và \((3 ; 360)\) nên ta có hệ:

\(\left\{\begin{array}{l}60=\mathrm{m} \cdot 2+\mathrm{n} \\ 100=\mathrm{m} \cdot 3+\mathrm{n}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}=40 \\ \mathrm{n}=-20\end{array} \Rightarrow \mathrm{y}=\mathrm{v}(\mathrm{t})=40 \mathrm{t}-20\right.\right.\)

Đường thẳng biểu diễn tốc độ từ giây thứ 3 đến giây thứ \(5 \mathrm{là} \mathrm{y}=\mathrm{v}(\mathrm{t})=100\).

Vậy trong 5 giây đầu, xe đi được quãng đường là:

\(\mathrm{S}=\int_0^2 15 \mathrm{t}^2 \mathrm{dt}+\int_2^3(40 \mathrm{t}-20) \mathrm{dt}+\int_3^5 100 \mathrm{dt}=320(\mathrm{~m})\).

Phương trinh của d viết dưới dạng chứa tham số \(\mathrm{là}\,\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-1+2 \mathrm{t} \\ \mathrm{y}=\mathrm{t} \\ \mathrm{z}=2+\mathrm{t}\end{array} \quad(\mathrm{t} \in \mathbb{R})\right.\).

Vì M thuộc d nên \(\mathrm{M}(-1+2 \mathrm{t} ; \mathrm{t} ; 2+\mathrm{t})\).

Mặt khác, A lả trung điểm của MN nên ta có:

\(\left\{\begin{array}{l}x_A=\frac{x_M+x_N}{2} \\ y_A=\frac{y_M+y_N}{2} \\ z_A=\frac{z_M+z_N}{2}\end{array} \Leftrightarrow\right.\)\(\left\{\begin{array}{l}x_N=2 x_A-x_M=2 \cdot 1-(-1+2 t)=3-2 t \\ y_N=2 y_A-y_M=2 \cdot(-1)-t=-2-t \\ z_N=2 z_A-z_M=2.2-(2+t)=2-t\end{array}\right.\)\(\Rightarrow \mathrm{N}(3-2 \mathrm{t} ;-2-\mathrm{t} ; 2-\mathrm{t})\).

Vì N thuộc mặt phẳng \((\mathrm{P})\) nên thay tọa độ N vào phương trình của \((\mathrm{P})\), ta được:

\((3-2 t)+(-2-t)-2(2-t)+5=0 \Leftrightarrow t=2\)

Do đó \(\mathrm{M}(3 ; 2 ; 4), \mathrm{N}(-1 ;-4 ; 0), \overrightarrow{\mathrm{MN}}=(-1-3 ;-4-2 ; 0-4)=(-4 ;-6 ;-4)\).

Gọi điểm thuộc \(\Delta\) có hoành độ là 9 là \(\mathrm{B}\left(9 ; \mathrm{y}_0 ; \mathrm{z}_0\right)\).

\(\Delta\) nhận \(\overrightarrow{\mathrm{u}}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{MN}}=(2 ; 3 ; 2)\) làm vectơ chỉ phương và đi qua điểm \(\mathrm{B}\left(-9 ; \mathrm{y}_0 ; \mathrm{z}_0\right)\) có phương trình tham số:

\(\left\{\begin{array}{l}x=-9+2 m \\ y=y_0+3 m \\ z=z_0+2 m\end{array} \quad(m \in \mathbb{R})\right.\).

Vì \(\mathrm{M}(3 ; 2 ; 4)\) thuộc \(\Delta\) nên \(\left\{\begin{array}{l}3=-9+2 \mathrm{~m} \\ 2=\mathrm{y}_0+3 \mathrm{~m} \\ 4=\mathrm{z}_0+2 \mathrm{~m}\end{array} \Leftrightarrow\right.\) \(\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}=6 \\ \mathrm{y}_0=-16 \Rightarrow B(-9 ;-16 ;-8) . \\ \mathrm{z}_0=-8\end{array}\right.\)

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta\) là \(\frac{x+9}{2}=\frac{y+16}{3}=\frac{z+8}{2}\).

Ta có \(2^2+2^2+(-16)^2+(-8)^2=328\).

Ta có \(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(-10+490 ; 0-0 ; 200-200)=(480 ; 0 ; 0)\);

\(\overrightarrow{\mathrm{PR}}=(0+490 ; 1600-0 ; 0-200)=(490 ; 1600 ;-200)\).

\([\overrightarrow{\mathrm{PQ}}, \overrightarrow{\mathrm{PR}}]=\left(\left|\begin{array}{cc}0 & 0 \\ 1600 & -200\end{array}\right| ;\left|\begin{array}{cc}0 & 480 \\ -200 & 490\end{array}\right| ;\left|\begin{array}{cc}480 & 0 \\ 490 & 1600\end{array}\right|\right)\)\(=(0 ; 96000 ; 768000)\).

Suy ra một vecto pháp tuyến của \((\mathrm{PQRS})\) là \(\overline{\mathrm{n}_{\mathrm{PQRS}}}=\)\(\frac{1}{96000}[\overrightarrow{\mathrm{PQ}}, \overrightarrow{\mathrm{PR}}]=(0 ; 1 ; 8)\).

Phương trình mặt phẳng (PQRS) là \(0(x-0)+1(y-1600)+8(z-0)=0 \Leftrightarrow y+8 z-1600=0\).

\(\mathrm{Vì}(\mathrm{ABCD}) / /(\mathrm{PQRS})\) nên phương trình của ( ABCD ) có dạng \(\mathrm{y}+8 \mathrm{z}+\mathrm{d}=0\).

\(A(0 ; 0 ;-65)\) thuộc \((A B C D)\) nên \(0+8 .(-65)+d=0 \Leftrightarrow d=520\).

Vậy \((A B C D): y+8 z+520=0\). Suy ra \(a=8\).