Câu hỏi:
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A(1;-1;2)\), mặt phẳng \((P): x + y − 2z + 5 = 0\) và đường thẳng d:\(\frac{x+1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z-2}{1}\). Đường thẳng \(\Delta\) cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN. Phương trình đường thẳng \(\Delta\) có dạng \(\frac{x+9}{a} = \frac{y-y_0}{3} = \frac{z-z_0}{b}\) với \(ab \neq 0\). Tính \(a^2 + b^2 + y_0^2 +z_0^2\).
Đáp án đúng: 328
Phương trinh của d viết dưới dạng chứa tham số \(\mathrm{là}\,\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-1+2 \mathrm{t} \\ \mathrm{y}=\mathrm{t} \\ \mathrm{z}=2+\mathrm{t}\end{array} \quad(\mathrm{t} \in \mathbb{R})\right.\).
Vì M thuộc d nên \(\mathrm{M}(-1+2 \mathrm{t} ; \mathrm{t} ; 2+\mathrm{t})\).
Mặt khác, A lả trung điểm của MN nên ta có:
\(\left\{\begin{array}{l}x_A=\frac{x_M+x_N}{2} \\ y_A=\frac{y_M+y_N}{2} \\ z_A=\frac{z_M+z_N}{2}\end{array} \Leftrightarrow\right.\)\(\left\{\begin{array}{l}x_N=2 x_A-x_M=2 \cdot 1-(-1+2 t)=3-2 t \\ y_N=2 y_A-y_M=2 \cdot(-1)-t=-2-t \\ z_N=2 z_A-z_M=2.2-(2+t)=2-t\end{array}\right.\)\(\Rightarrow \mathrm{N}(3-2 \mathrm{t} ;-2-\mathrm{t} ; 2-\mathrm{t})\).
Vì N thuộc mặt phẳng \((\mathrm{P})\) nên thay tọa độ N vào phương trình của \((\mathrm{P})\), ta được:
\((3-2 t)+(-2-t)-2(2-t)+5=0 \Leftrightarrow t=2\)
Do đó \(\mathrm{M}(3 ; 2 ; 4), \mathrm{N}(-1 ;-4 ; 0), \overrightarrow{\mathrm{MN}}=(-1-3 ;-4-2 ; 0-4)=(-4 ;-6 ;-4)\).
Gọi điểm thuộc \(\Delta\) có hoành độ là 9 là \(\mathrm{B}\left(9 ; \mathrm{y}_0 ; \mathrm{z}_0\right)\).
\(\Delta\) nhận \(\overrightarrow{\mathrm{u}}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{MN}}=(2 ; 3 ; 2)\) làm vectơ chỉ phương và đi qua điểm \(\mathrm{B}\left(-9 ; \mathrm{y}_0 ; \mathrm{z}_0\right)\) có phương trình tham số:
\(\left\{\begin{array}{l}x=-9+2 m \\ y=y_0+3 m \\ z=z_0+2 m\end{array} \quad(m \in \mathbb{R})\right.\).
Vì \(\mathrm{M}(3 ; 2 ; 4)\) thuộc \(\Delta\) nên \(\left\{\begin{array}{l}3=-9+2 \mathrm{~m} \\ 2=\mathrm{y}_0+3 \mathrm{~m} \\ 4=\mathrm{z}_0+2 \mathrm{~m}\end{array} \Leftrightarrow\right.\) \(\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}=6 \\ \mathrm{y}_0=-16 \Rightarrow B(-9 ;-16 ;-8) . \\ \mathrm{z}_0=-8\end{array}\right.\)
Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta\) là \(\frac{x+9}{2}=\frac{y+16}{3}=\frac{z+8}{2}\).
Ta có \(2^2+2^2+(-16)^2+(-8)^2=328\).
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Bộ Đề Kiểm Tra Tham Khảo Học Kì II - Toán 12 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống – Bộ Đề 01 được xây dựng theo định hướng phát triển năng lực, phù hợp với học sinh đang ôn tập học kỳ II và chuẩn bị cho kỳ thi THPT. Cấu trúc đề gồm 3 phần chính: Phần A. Trắc Nghiệm, với Câu Trắc Nghiệm Nhiều Phương Án Lựa Chọn, Câu Trắc Nghiệm Đúng Sai, Câu Trắc Nghiệm Trả Lời Ngắn. Nội dung kiểm tra bao gồm: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số, Nguyên Hàm, Tích Phân, Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian, Phân Tích Và Xử Lí Dữ Liệu, Xác Suất. Đây là tài liệu bám sát chương trình, hỗ trợ hiệu quả trong việc hệ thống hóa kiến thức và luyện đề kiểm tra chất lượng.
Câu hỏi liên quan

Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Tiếng Anh 12 – I-Learn Smart World – Năm Học 2025-2026

Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Tiếng Anh 12 – Global Success – Năm Học 2025-2026

Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Hóa Học 12 – Kết Nối Tri Thức – Năm Học 2025-2026

Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Hóa Học 12 – Chân Trời Sáng Tạo – Năm Học 2025-2026

Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Công Nghệ 12 – Kết Nối Tri Thức – Năm Học 2025-2026
