Câu hỏi:

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AB = AC = \sqrt{2}$.

Ta có $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow{AD}$, với $AD$ là đường chéo của hình vuông $ABDC$.

Độ dài đường chéo $AD = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$.

Vậy độ dài vecto tổng $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}$ bằng 2.

Gọi $x$ là số kệ sách và $y$ là số bàn làm việc.
Ta có hệ bất phương trình:
$5x + 10y \le 600$ (chế biến gỗ)
$4x + 3y \le 240$ (hoàn thiện)
$x \ge 0$
$y \ge 0$


Hàm mục tiêu (lợi nhuận): $P = 400x + 750y$ (đơn vị: nghìn đồng)


Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $P$.


Từ hệ bất phương trình, ta có:
$x + 2y \le 120$
$4x + 3y \le 240$
$x \ge 0$
$y \ge 0$


Các điểm cực biên của miền nghiệm là: (0,0), (60,0), (0,80), và giao điểm của hai đường thẳng $x + 2y = 120$ và $4x + 3y = 240$.


Giải hệ phương trình:
$x + 2y = 120$
$4x + 3y = 240$
Nhân phương trình thứ nhất với 4: $4x + 8y = 480$
Trừ phương trình thứ hai: $5y = 240 \Rightarrow y = 48$. Lúc này $x = 24$.
Vậy giao điểm là (24, 48).
Tính giá trị của $P$ tại các điểm cực biên:
$P(0,0) = 0$
$P(60,0) = 400(60) = 24000$
$P(0,80) = 750(80) = 60000$
$P(24,48) = 400(24) + 750(48) = 9600 + 36000 = 45600$
Ta cần tìm một điểm (x,y) sao cho $5x+10y <=600$ và $4x+3y <= 240$ và P đạt max.
Kiểm tra các đáp án:
Đáp án 1: (120,0) => $5(120)+10(0) = 600$ và $4(120) + 3(0) = 480 > 240$ (loại)
Đáp án 2: (0,60) => $5(0)+10(60)=600$ và $4(0)+3(60) = 180 <= 240$ => P = $400(0)+750(60)=45000$
Đáp án 3: (48,36) => $5(48)+10(36) = 240+360=600$ và $4(48)+3(36) = 192+108=300 > 240$ (loại)
Đáp án 4: (36,42) => $5(36)+10(42) = 180+420=600$ và $4(36)+3(42) = 144+126=270 > 240$ (loại)
Ta cần tìm các giá trị nguyên gần (24,48) thỏa mãn các điều kiện. Ví dụ, x=30, y=45, $5(30)+10(45) = 150+450=600$, $4(30)+3(45)=120+135=255 > 240$
Vậy (0,60) là đáp án đúng, tuy nhiên (24,48) cho lợi nhuận cao hơn. Xét x=20, y=50 $5(20)+10(50) = 600$. và $4(20)+3(50)=80+150=230 <=240$, $P = 400(20)+750(50)=8000+37500=45500$.
Có vẻ như không có đáp án nào chính xác trong các lựa chọn. Đáp án gần đúng nhất là 0 kệ sách và 60 bàn làm việc

Câu hỏi này không có các lựa chọn trắc nghiệm. Đây là một bài toán tự luận về chuyển động tương đối. Để giải bài toán này, cần phân tích vector vận tốc của hai tàu và tìm hướng đi của tàu A sao cho có thể gặp tàu B trong thời gian ngắn nhất.
Bài giải cần sử dụng kiến thức về:

• Hệ quy chiếu
• Tổng hợp và phân tích vector vận tốc
• Phương trình chuyển động thẳng đều

Gọi $\overrightarrow{F}$ là hợp lực của $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$. Vì $\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MB} $ và $\widehat{AMB}=90^\circ$ nên theo quy tắc hình bình hành, $MABR$ là hình chữ nhật, suy ra $MR = \sqrt{MA^2 + MB^2}$.

Ta có:

$F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{400^2 + 300^2} = \sqrt{160000 + 90000} = \sqrt{250000} = 500 (N)$.

Vậy cường độ của lực tác dụng lên vật là $500N$.

Mệnh đề "Mọi số thực đều có bình phương không âm" có nghĩa là với mọi số thực $x$, bình phương của nó ($x^2$) luôn lớn hơn hoặc bằng 0.
Ký hiệu $\forall x \in \mathbb{R}$ biểu thị "với mọi số thực $x$".
Vậy, mệnh đề được viết lại bằng ký hiệu là $\forall x \in \mathbb{R}:{x^2} \ge 0$.