Câu hỏi:

Ta có bất phương trình: $x(x+5) \leq 2(x^2+2)$

$\Leftrightarrow x^2 + 5x \leq 2x^2 + 4$

$\Leftrightarrow 0 \leq x^2 - 5x + 4$

$\Leftrightarrow x^2 - 5x + 4 \geq 0$

Xét phương trình $x^2 - 5x + 4 = 0$, ta có:

$\Delta = (-5)^2 - 4*1*4 = 25 - 16 = 9 > 0$

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2*1} = \frac{5+3}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2*1} = \frac{5-3}{2} = 1$

Vì $a = 1 > 0$ nên $x^2 - 5x + 4 > 0$ khi $x < 1$ hoặc $x > 4$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \in (-\infty ; 1] \cup [4 ; +\infty)$.

Để bất phương trình $(2m^2 - 3m - 2)x^2 + 2(m-2)x - 1 \leq 0$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$, ta xét 2 trường hợp:

TH1: $2m^2 - 3m - 2 = 0$. Khi đó $m = 2$ hoặc $m = -\dfrac{1}{2}$.

* Nếu $m = 2$, bất phương trình trở thành $-1 \leq 0$, luôn đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$.
* Nếu $m = -\dfrac{1}{2}$, bất phương trình trở thành $-3x - 1 \leq 0 \Leftrightarrow x \geq -\dfrac{1}{3}$, không đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$.

TH2: $2m^2 - 3m - 2 \neq 0$. Để bất phương trình $(2m^2 - 3m - 2)x^2 + 2(m-2)x - 1 \leq 0$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$, ta cần:

* $a = 2m^2 - 3m - 2 < 0 \Leftrightarrow (2m + 1)(m - 2) < 0 \Leftrightarrow -\dfrac{1}{2} < m < 2$.
* $\Delta' = (m-2)^2 + (2m^2 - 3m - 2) = m^2 - 4m + 4 + 2m^2 - 3m - 2 = 3m^2 - 7m + 2 \leq 0 \Leftrightarrow (3m - 1)(m - 2) \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} \leq m \leq 2$.

Kết hợp hai điều kiện, ta được $\dfrac{1}{3} \leq m < 2$.

Vậy, kết hợp cả hai trường hợp, ta có $\dfrac{1}{3} \leq m \leq 2$ hoặc $m = 2$. Suy ra $\dfrac{1}{3} \leq m \leq 2$ hoặc $m=2$. Kết hợp lại ta được $\dfrac{1}{3} \leq m \leq 2$.

Vậy đáp án là $\dfrac{1}{3} \leq m \leq 2$.

Để $f(x) = x^2 - (m+2)x + 8m + 1$ không âm với mọi $x$, ta cần $f(x) \geq 0$ với mọi $x$. Điều này xảy ra khi và chỉ khi:

• Hệ số của $x^2$ dương (điều này đúng vì hệ số là 1 > 0)


• $\Delta \leq 0$

Ta có $\Delta = (m+2)^2 - 4(8m+1) = m^2 + 4m + 4 - 32m - 4 = m^2 - 28m$.
Vậy, điều kiện là $m^2 - 28m \leq 0$.

Ta có tam thức bậc hai $f(x) = 2x^2 + 2x + 5$.

Để xét dấu của tam thức bậc hai, ta tính $\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 4 - 40 = -36 < 0$.

Vì $a = 2 > 0$ và $\Delta < 0$ nên $f(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Vậy tam thức bậc hai $f(x)$ luôn nhận giá trị dương với mọi $x$ thuộc tập số thực.

Để tam thức bậc hai $ax^2 + bx + c$ đổi dấu trên $\mathbb{R}$, điều kiện cần và đủ là $a \neq 0$ và $\Delta > 0$.

• Xét $f(x) = 2x^2 - 3x + 4$, ta có $a = 2 > 0$ và $\Delta = (-3)^2 - 4(2)(4) = 9 - 32 = -23 < 0$. Do đó, $f(x)$ luôn dương trên $\mathbb{R}$ và không đổi dấu.


• Xét $g(x) = -x^2 + 3x - 4$, ta có $a = -1 < 0$ và $\Delta = 3^2 - 4(-1)(-4) = 9 - 16 = -7 < 0$. Do đó, $g(x)$ luôn âm trên $\mathbb{R}$ và không đổi dấu.


• Xét $h(x) = 4 - 3x^2 = -3x^2 + 4$, ta có $a = -3 < 0$ và $\Delta = 0^2 - 4(-3)(4) = 48 > 0$. Vì $\Delta > 0$, $h(x)$ có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu trên $\mathbb{R}$.

Vậy, chỉ có $h(x)$ đổi dấu trên $\mathbb{R}$.

Số tam thức đổi dấu trên $\mathbb{R}$ là 1. Tuy nhiên, đề bài hỏi "số tam thức đổi dấu trên $\mathbb{R}$ ", có lẽ ý của người ra đề muốn hỏi có bao nhiêu khoảng mà tam thức đổi dấu.

$h(x) = -3x^2+4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$. Vậy có 2 khoảng $(-\infty, -\frac{2}{\sqrt{3}})$ và $(\frac{2}{\sqrt{3}}, \infty)$ mà $h(x)$ âm và khoảng $(-\frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}})$ mà $h(x)$ dương. Vậy $h(x)$ đổi dấu trên $\mathbb{R}$.

Vì cả $f(x)$ và $g(x)$ đều không đổi dấu trên $\mathbb{R}$, vậy chỉ có $h(x)$ đổi dấu, nên đáp án là 1 tam thức đổi dấu.

Nhưng vì $h(x)$ đổi dấu 2 lần, đề có thể muốn hỏi "số lần" đổi dấu, chứ không phải số lượng tam thức. Do đó đáp án có thể là 2.