Câu hỏi:

Để $f(x) \leq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, parabol phải hướng xuống và nằm phía dưới trục hoành.
Điều này xảy ra khi:

• $a < 0$ (parabol hướng xuống)


• $\Delta \leq 0$ (parabol không cắt hoặc tiếp xúc với trục hoành)

Vậy, điều kiện cần tìm là $\begin{cases} a < 0 \\ \Delta \leq 0 \end{cases}$

Để giải bất phương trình $2x^2 - 7x - 15 \ge 0$, ta thực hiện các bước sau:

• Tìm nghiệm của phương trình $2x^2 - 7x - 15 = 0$.

Ta có $\Delta = (-7)^2 - 4*2*(-15) = 49 + 120 = 169 > 0$.

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1 = \frac{7 + \sqrt{169}}{2*2} = \frac{7 + 13}{4} = \frac{20}{4} = 5$

$x_2 = \frac{7 - \sqrt{169}}{2*2} = \frac{7 - 13}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Vì hệ số $a = 2 > 0$, nên parabol hướng lên trên. Do đó, bất phương trình $2x^2 - 7x - 15 \ge 0$ có nghiệm là $x \le -\frac{3}{2}$ hoặc $x \ge 5$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(-\infty;-\frac{3}{2}] \cup [5;+\infty)$.

Ta có $x^2 - 3x + 2 < 0$.

Phân tích thành nhân tử: $(x-1)(x-2) < 0$.

Xét dấu của tam thức bậc hai:

• $x < 1$: $(x-1) < 0$ và $(x-2) < 0$, nên $(x-1)(x-2) > 0$.


• $1 < x < 2$: $(x-1) > 0$ và $(x-2) < 0$, nên $(x-1)(x-2) < 0$.


• $x > 2$: $(x-1) > 0$ và $(x-2) > 0$, nên $(x-1)(x-2) > 0$.

Vậy, bất phương trình có nghiệm là $1 < x < 2$, hay $x \in (1; 2)$.

Ta có bất phương trình $-x^2 + 5x - 4 < 0$.

Xét phương trình $-x^2 + 5x - 4 = 0$, ta có $a = -1, b = 5, c = -4$.

$Δ = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(-1)(-4) = 25 - 16 = 9 > 0$.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2(-1)} = \frac{-5 + 3}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2(-1)} = \frac{-5 - 3}{-2} = \frac{-8}{-2} = 4$

Vì $a = -1 < 0$ nên $-x^2 + 5x - 4 < 0$ khi $x < 1$ hoặc $x > 4$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$.