Câu hỏi:

Ta có bất phương trình $-x^2 + 5x - 4 < 0$.

Xét phương trình $-x^2 + 5x - 4 = 0$, ta có $a = -1, b = 5, c = -4$.

$Δ = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(-1)(-4) = 25 - 16 = 9 > 0$.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2(-1)} = \frac{-5 + 3}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2(-1)} = \frac{-5 - 3}{-2} = \frac{-8}{-2} = 4$

Vì $a = -1 < 0$ nên $-x^2 + 5x - 4 < 0$ khi $x < 1$ hoặc $x > 4$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$.

Ta giải bất phương trình $x^2 - 8x + 7 \geq 0$ như sau:

$x^2 - 8x + 7 = 0$ có hai nghiệm $x_1 = 1$ và $x_2 = 7$.

Do đó, $x^2 - 8x + 7 \geq 0$ khi $x \leq 1$ hoặc $x \geq 7$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là $(-\infty; 1] \cup [7; +\infty)$.

Xét các đáp án:

• A. $(-\infty; 0]$ là tập con của $(-\infty; 1]$, nên mọi phần tử của $(-\infty; 0]$ đều là nghiệm.


• B. $[8; +\infty)$ là tập con của $[7; +\infty)$, nên mọi phần tử của $[8; +\infty)$ đều là nghiệm.


• C. $(-\infty; 1]$ là tập nghiệm của bất phương trình.


• D. $[6; +\infty)$ chứa các giá trị nhỏ hơn 7 không phải là nghiệm. Ví dụ 6 không phải là nghiệm.

Vậy đáp án là D.

Ta có bất phương trình $6x^2 + x - 1 \le 0$. Ta tìm nghiệm của phương trình $6x^2 + x - 1 = 0$. $6x^2 + 3x - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow 3x(2x + 1) - (2x + 1) = 0 \Leftrightarrow (3x - 1)(2x + 1) = 0$. Vậy $x = \frac{1}{3}$ hoặc $x = -\frac{1}{2}$. Xét dấu tam thức bậc hai $f(x) = 6x^2 + x - 1$. Vì $a = 6 > 0$ nên $f(x) \le 0$ khi $x$ nằm giữa hai nghiệm, tức là $x \in \left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{3}\right]$.

Để giải bất phương trình $x^2 + x - 12 < 0$, ta thực hiện các bước sau:
* Tìm nghiệm của phương trình $x^2 + x - 12 = 0$.
* Ta có $\Delta = 1^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49$. Vậy $\sqrt{\Delta} = 7$.
* Nghiệm của phương trình là $x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = 3$ và $x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = -4$.
* Vì hệ số $a = 1 > 0$, parabol hướng lên trên. Do đó, $x^2 + x - 12 < 0$ khi $x$ nằm giữa hai nghiệm.
* Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là $S = (-4; 3)$.

Điều kiện: $2x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{3}{2}$.
Phương trình tương đương:
$(\sqrt{2x-3})^2 = (x-3)^2$
$2x - 3 = x^2 - 6x + 9$
$x^2 - 8x + 12 = 0$
$\Delta' = (-4)^2 - 12 = 16 - 12 = 4 > 0$
x1 = 4 + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6 (thỏa mãn)
x2 = 4 - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2 (thỏa mãn)
Vậy $S = \{2; 6\}$.
Tuy nhiên, ta cần kiểm tra lại nghiệm vì đây là phương trình chứa căn thức.
Với $x=2$ thì $\sqrt{2(2)-3} = \sqrt{1} = 1$ và $2-3 = -1$. Do đó $x=2$ không là nghiệm.
Với $x=6$ thì $\sqrt{2(6)-3} = \sqrt{9} = 3$ và $6-3 = 3$. Do đó $x=6$ là nghiệm.
Vậy tập nghiệm là $S = \{6\}$.