Câu hỏi:

Câu hỏi này không cung cấp các lựa chọn đáp án. Để giải quyết bài toán này, ta cần tìm công thức tính diện tích hình tròn ngoại tiếp của tam giác đều, sau đó tìm quy luật của dãy diện tích và tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Diện tích tam giác đều $A_1B_1C_1$ là $S_{tg} = \frac{3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $A_1B_1C_1$ là $R_1 = \frac{3}{2sin(60^\circ)} = \frac{3}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$. Diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác $A_1B_1C_1$ là $S_1 = \pi R_1^2 = \pi (\sqrt{3})^2 = 3\pi$. Vì tam giác $A_nB_nC_n$ là tam giác trung bình của tam giác $A_{n-1}B_{n-1}C_{n-1}$ nên cạnh của tam giác $A_nB_nC_n$ bằng một nửa cạnh của tam giác $A_{n-1}B_{n-1}C_{n-1}$. Do đó, $R_n = \frac{1}{2} R_{n-1}$. Vậy $R_n = R_1 (\frac{1}{2})^{n-1} = \sqrt{3} (\frac{1}{2})^{n-1}$. $S_n = \pi R_n^2 = \pi (\sqrt{3} (\frac{1}{2})^{n-1})^2 = 3\pi (\frac{1}{4})^{n-1}$. $S = S_1 + S_2 + ... = \sum_{n=1}^{\infty} S_n = \sum_{n=1}^{\infty} 3\pi (\frac{1}{4})^{n-1} = 3\pi \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{4})^{n-1}$. Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1 = 1$ và $q = \frac{1}{4}$. Tổng là $\frac{u_1}{1-q} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$. Vậy $S = 3\pi \cdot \frac{4}{3} = 4\pi$.