Câu hỏi:

Ta có phương trình $\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1$ tương đương với $x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$.
Suy ra $x = \frac{\pi }{4} + k2\pi$.
Ta cần tìm số giá trị của $k$ sao cho $\pi \le x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \le 2\pi$.
Điều này tương đương với $\pi \le \frac{\pi }{4} + k2\pi \le 2\pi$.
Chia cả ba vế cho $\pi$, ta được $1 \le \frac{1}{4} + 2k \le 2$.
Trừ $\frac{1}{4}$ cho cả ba vế, ta được $\frac{3}{4} \le 2k \le \frac{7}{4}$.
Chia cả ba vế cho 2, ta được $\frac{3}{8} \le k \le \frac{7}{8}$.
Vì $k \in \mathbb{Z}$, suy ra $k = 0$ không thỏa mãn.
Do đó, chỉ có $k=0$ thỏa mãn điều kiện $\frac{3}{8} \le k \le \frac{7}{8}$ là không chính xác. Giá trị k duy nhất thỏa mãn là k = 0 thì $x = \frac{\pi}{4}$, do đó giá trị k = 1 thì $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} > 2\pi$ (loại). Vậy ta giải lại điều kiện $\pi \le x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \le 2\pi$
$\iff \pi \le \frac{\pi }{4} + 2k\pi \le 2\pi $
$\iff 1 \le \frac{1}{4} + 2k \le 2 $
$\iff \frac{3}{4} \le 2k \le \frac{7}{4} $
$\iff \frac{3}{8} \le k \le \frac{7}{8} $
Do $k \in \mathbb{Z}$ nên $k$ không có giá trị nào thỏa mãn.
Vậy số nghiệm của phương trình trên đoạn $\left[ {\pi ;2\pi } \right]$ là 0.

Ta có $\cot 3x = - \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \cot \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)$.
Suy ra $3x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{\pi }{3},k \in \mathbb{Z}$.

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ chia hết cho 1 và chính nó.

Các số nguyên tố nhỏ hơn 10 là 2, 3, 5, 7.

Vậy đáp án đúng là C.

Ta có ${u_n} = {2^n}$. Để tìm ${u_{n + 1}}$, ta thay $n$ bằng $n+1$ trong công thức của ${u_n}$. Khi đó, ${u_{n + 1}} = {2^{n + 1}} = {2^n} \cdot 2$.

Ta xét từng đáp án:

• A: $u_n = \cos(2n)$. Vì $-1 \le \cos(2n) \le 1$ nên dãy $(u_n)$ bị chặn.


• B: $v_n = \frac{2n+5}{5n+2}$. Khi $n \to \infty$, $v_n \to \frac{2}{5}$. Dãy này bị chặn.


• C: $k_n = n^2 + 4n + 9$. Khi $n \to \infty$, $k_n \to \infty$. Dãy này không bị chặn.


• D: $a_n = (-1)^n$. Dãy này chỉ nhận giá trị -1 và 1 nên bị chặn.

Vậy dãy số không bị chặn là $k_n = n^2 + 4n + 9$.