Câu hỏi:

Áp dụng định lí côsin trong tam giác, ta có:

\({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab{\rm{cos}}C\)

hay \({c^2} = {3^2} + {4^2} - 2.3.4.{\rm{cos}}{30^ \circ } = 25 - 12\sqrt 3 \) .

Do đó, \(c \approx 2,05\) cm.

Ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc{\rm{cos}}A\)

\( \Rightarrow {\rm{cos}}A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)

\( = \frac{{{4^2} + {{(25 - 12\sqrt 3 )}^2} - {3^2}}}{{2.4.\sqrt {25 - 12\sqrt 3 } }} \approx 0,68\) .

Suy ra \(\hat A \approx 47,{2^ \circ }\) .

Do đó, \(\hat B = {180^ \circ } - \hat A - \hat C\)

\( = {180^ \circ } - 47,{2^ \circ } - {30^ \circ } = 102,{8^ \circ }\) .

Vì \({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha  + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  = 1\)

\( \Rightarrow {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha  = 1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  = 1 - {( - \frac{3}{4})^2} = \frac{7}{{16}}\) .

Mà \({0^ \circ } < \alpha  < {90^ \circ }\) nên \({\rm{sin}}\alpha  > 0\) .

Do đó \({\rm{sin}}\alpha  = \sqrt {\frac{7}{{16}}}  = \frac{{\sqrt 7 }}{4}\) .

\({\rm{tan}}\alpha  = \frac{{{\rm{sin}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} = \frac{{\frac{{\sqrt 7 }}{4}}}{{ - \frac{3}{4}}} =  - \frac{{\sqrt 7 }}{3}\) ;

\({\rm{cot}}\alpha  = \frac{{{\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{sin}}\alpha }} =  - \frac{{3\sqrt 7 }}{7}\) .

Ta có \(\left( {{x^2} + 7x + 6} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{{x^2} + 7x + 6 = 0}\\{}&{{x^2} - 4 = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{x =  - 1}\\{}&{x =  - 6}\\{}&{x =  - 2}\\{}&{x = 2}\end{array}} \right.\)

Vậy \(A = \left\{ { - 6; - 2; - 1;2} \right\}\)

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{x \in \mathbb{N}}\\{}&{2x \le 8}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{x \in \mathbb{N}}\\{}&{x \le 4}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow x \in \left\{ {0,1,2,3,4} \right\}\) .

Vậy \(B = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\) .

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{x \in \mathbb{Z}}\\{}&{ - 2 \le x \le 4}\end{array} \Leftrightarrow x \in \left\{ { - 2, - 1,0,1,2,3,4} \right\}} \right.\) .

Suy ra \(C = \left\{ { - 3; - 1;1;3;5;7;9} \right\}\) .

Ta có: \(A \cup B = \left\{ { - 6; - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\},\)

\(A \cap B = \left\{ 2 \right\}\) ,

\(A \cup C = \left\{ { - 6; - 3; - 2; - 1;1;2;3;5;7;9} \right\}\) .

Gọi x , y tương ứng là khối lượng bánh quy và số ly trà sữa tiêu thụ trong một tuần của một người, \(x \ge 0\) , \(y \ge 0\) .

Lượng đường dung nạp từ số lượng bánh quy và trà sữa trên là: \(F\left( {x;y} \right) = 150x + 55y\) .

Để đảm bảo sức khỏe theo tiêu chuẩn, ta cần:

    \(F\left( {x;y} \right) \le 50.7 = 350\)

    \( \Leftrightarrow 150x + 55y \le 350\)

Một người ăn uống trong một tuần \(0,4\) kilogam bánh quy và 5 ly trà sữa thì \(F\left( {0,4;5} \right) = 335 < 350\) .

Do đó không vượt qua ngưỡng tiêu thụ đường tiêu chuẩn. 

\(\widehat {ACB} = {120^ \circ }\) ; \(\widehat {ABC} = {30^ \circ } \Rightarrow \widehat {BAC} = {30^ \circ }\) .

Nên \({\rm{\Delta }}ABC\) cân tại \(C \Rightarrow AC = BC = 100\)

Trong tam giác vuông AHC :

\({\rm{sin}}\widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{AC}}\)

\( \Leftrightarrow AH = AC.{\rm{sin}}{30^ \circ } = 50\) m.