Câu hỏi:

Tập xác định: \(D=(1;9)\).

\({{y}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{2\sqrt{9-x}}=0\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{9-x}=\sqrt{x-1}\)

\(\Leftrightarrow 9-x=x-1\Leftrightarrow x=5\) (thoả mãn).

\(f(1)=f(9)=2\sqrt{2};f(5)=4\)

Vậy tập giá trị là \(T=(2\sqrt{2};4)\).

Gọi \(\overrightarrow{{{F}_{1}}},\overrightarrow{{{F}_{2}}},\overrightarrow{{{F}_{3}}}\) là ba lực tác động vào vật đặt tại điểm O lần lượt có độ lớn là 25N, 12N, 4N.

Vẽ \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{{{F}_{1}}};\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{{{F}_{2}}};\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{{{F}_{3}}}\)

Dựng hình bình hành OADB và hình bình hành ODE).

Hợp lực tác động vào vật là

\(\begin{array}{*{35}{l}} \vec{F}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} \\ =\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OE} \\ \end{array}\)

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OBD, ta có

\(O{{D}^{2}}=B{{D}^{2}}+O{{B}^{2}}-2\cdot BD\cdot OB\cdot \cos \widehat{OBD}\)

\(=O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos {{100}^{{}^\circ }}\)

Vì \(OC\bot (OADB)\) nên \(OC\bot OD\), suy ra ODEC là hình chữ nhật.

Do đó tam giác ODE vuông tại D.

Ta có \(O{{E}^{2}}=O{{C}^{2}}+O{{D}^{2}}=O{{C}^{2}}+O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos {{100}^{{}^\circ }}\).

Suy ra \(OE=\sqrt{O{{C}^{2}}+O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos {{100}^{{}^\circ }}}\) \(=\sqrt{{{4}^{2}}+{{25}^{2}}+{{12}^{2}}+2\cdot 25\cdot 12\cdot \cos {{100}^{{}^\circ }}}\approx 26,092.\)

Vậy độ lớn của hợp lực là \(F=OE\approx 26~\text{N}\).

Ta có: \(\begin{array}{*{35}{l}} \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DN} \\ =\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN} \\ \end{array}\)

Ta có: \(\begin{array}{*{35}{l}}\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN} \\ =\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN} \\ \end{array}\)

\(\Rightarrow 2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{CN}\).

Mà M và N lần lượt là̀ trung điểm của AB và CD

nên \(\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{MB}\).

\(\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{NC}=-\overrightarrow{CN}\).

Do đó \(2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\).

\(\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})\).

\(\Rightarrow k=\frac{1}{2}\).

Xét hàm số \(h(t)=-4,9{{t}^{2}}+20t+1\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\). \(\begin{array}{*{35}{l}} {{h}^{\prime }}(t)=-9,8t+20 \\ {{h}^{\prime }}(t)=0\Leftrightarrow -9,8t+20=0\Leftrightarrow t=\frac{100}{49} \\ \end{array}\)

Ta có bảng biến thiên h(t)

Suy ra hàm số đạt cực đại tại \(x=\frac{100}{49}\approx 2,04\).

Vậy thời điểm vật đạt độ cao lớn nhất là 2,04 giây.

Có: \(v={{s}^{\prime }}=-3{{t}^{2}}+12t+17\)

Ta đi tìm giá trị lớn nhất của \(v=-3{{t}^{2}}+12t+17\) trên khoảng \((0;8)\)

\(\begin{array}{*{35}{l}} {{v}^{\prime }}=-6t+12 \\ {{v}^{\prime }}=0\Rightarrow t=2 \\ \end{array}\)

Bảng biến thiên

Vậy vận tốc lớn nhất trong khoảng 8 giây đầu tiên là: 29 m/s.