Câu hỏi:

Ta có: \(\begin{array}{*{35}{l}} \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DN} \\ =\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN} \\ \end{array}\)

Ta có: \(\begin{array}{*{35}{l}}\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN} \\ =\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN} \\ \end{array}\)

\(\Rightarrow 2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{CN}\).

Mà M và N lần lượt là̀ trung điểm của AB và CD

nên \(\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{MB}\).

\(\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{NC}=-\overrightarrow{CN}\).

Do đó \(2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\).

\(\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})\).

\(\Rightarrow k=\frac{1}{2}\).

Xét hàm số \(h(t)=-4,9{{t}^{2}}+20t+1\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\). \(\begin{array}{*{35}{l}} {{h}^{\prime }}(t)=-9,8t+20 \\ {{h}^{\prime }}(t)=0\Leftrightarrow -9,8t+20=0\Leftrightarrow t=\frac{100}{49} \\ \end{array}\)

Ta có bảng biến thiên h(t)

Suy ra hàm số đạt cực đại tại \(x=\frac{100}{49}\approx 2,04\).

Vậy thời điểm vật đạt độ cao lớn nhất là 2,04 giây.

Có: \(v={{s}^{\prime }}=-3{{t}^{2}}+12t+17\)

Ta đi tìm giá trị lớn nhất của \(v=-3{{t}^{2}}+12t+17\) trên khoảng \((0;8)\)

\(\begin{array}{*{35}{l}} {{v}^{\prime }}=-6t+12 \\ {{v}^{\prime }}=0\Rightarrow t=2 \\ \end{array}\)

Bảng biến thiên

Vậy vận tốc lớn nhất trong khoảng 8 giây đầu tiên là: 29 m/s.

Gọi số lần tăng giá tiền cho thuê mỗi căn hộ một tháng để công ty thu được thu nhập cao nhất là x (lần) \((0\le x\le 30)\).

Số tiển cho thuê mỗi căn hộ là \(2+0,1x\) (triệu đồng).

Số căn hộ mỗi tháng được thuê là \(150-5x\) (căn hộ).

Doanh thu của công ty đạt được là \((2+0,1x)(150-5x)\) (triệu đồng).

Đặt \(f(x)=(2+0,1x)(150-5x)\).

\({{f}^{\prime }}(x)=0,1.(150-5x)-5(2+0,1x)=15-0,5x-10-0,5x=5-x\)

\({{f}^{\prime }}(x)=0\Leftrightarrow x=5\).

\(f(0)=300;f(5)=312,5;f(30)=0\).

\(\Rightarrow \underset{x\in (0;30)}{\mathop{\max }}\,f(x)=f(5)=312,5\text{ khi }x=5\).

Vậy để có thu nhập cao nhất thì công ty đó phải cho thuê với giá \(2+0,1.5=2,5\) (triệu đồng/tháng).

Số nghiệm của phương trình \(f\left( {{x}^{2}} \right)=1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f\left( {{x}^{2}} \right)\) và đường thẳng \(y=1\).

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình

\(f\left( {{x}^{2}} \right)=1 \Leftrightarrow \left( \begin{array}{*{35}{l}} {{x}^{2}}=a<0(1) \\ {{x}^{2}}=b>0(2) \\ {{x}^{2}}=c>0(3) \\ \end{array} \right.\)

Phương trình (1) vô nghiệm.

Phương trình (2) có 2 nghiệm \(x=\pm \sqrt{b}\).

Phương trình (3) có 2 nghiệm \(x=\pm \sqrt{c}\).

Vậy phương trình có 4 nghiệm.