Câu hỏi:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( {{x}^{2}} \right)=1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f\left( {{x}^{2}} \right)\) và đường thẳng \(y=1\).

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình

\(f\left( {{x}^{2}} \right)=1 \Leftrightarrow \left( \begin{array}{*{35}{l}} {{x}^{2}}=a<0(1) \\ {{x}^{2}}=b>0(2) \\ {{x}^{2}}=c>0(3) \\ \end{array} \right.\)

Phương trình (1) vô nghiệm.

Phương trình (2) có 2 nghiệm \(x=\pm \sqrt{b}\).

Phương trình (3) có 2 nghiệm \(x=\pm \sqrt{c}\).

Vậy phương trình có 4 nghiệm.

I là trung điểm của AB nên

+ \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\);

+ \(IA=IB\) và hai vectơ \(\overrightarrow{IA};\overrightarrow{IB}\) ngược hướng.

Do đó \(\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}\) hay \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}\).

\(\overrightarrow{AB}=(3-1;(-5)-2;2-(-3))=(2;-7;5)\).

Ta có: \(\vec{a}=2\vec{i}+\vec{j}-2\vec{k}\Rightarrow \vec{a}=(2;1;-2)\Rightarrow |\vec{a}|=\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}=3\).

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\backslash \{2\}\).

Lại có \({{y}^{\prime }}=-\frac{10}{{{(2x-4)}^{2}}}<0,\forall x\in D\)

nên hàm số luôn nghịch biến trên mỗi khoảng \((-\infty ;2)\) và \((2;+\infty )\).