Câu hỏi:

\(l=\frac{n}{180} \pi R\)

Ta có \(O O^{\prime}=6 \mathrm{~cm}\)

Lại có: \(\left\{\begin{array}{l}R^{\prime}=3 \mathrm{~cm} \\ R=2 \mathrm{~cm}\end{array}\right.\)

\(\Rightarrow \mathrm{R}^{\prime}+\mathrm{R}=3+2=5 \mathrm{~cm}<\mathrm{OO}^{\prime}\)

\(\Rightarrow\) Hai đường tròn nằm ngoài nhau \(\Rightarrow\) Hai đường tròn có 4 tiếp tuyến chung

Hai đường tròn \((\mathrm{O} ; 3 \mathrm{~cm}) ;\left(\mathrm{O}^{\prime} ; 4 \mathrm{~cm}\right)\) cắt nhau tại \(\mathrm A\) và \(\mathrm B\) nên \(\mathrm{OO}^{\prime}\) là đường trung trực của \(\mathrm {AB}\)

\(\Rightarrow \mathrm{OO}^{\prime} \perp \mathrm{AB}\) (tính chất đường nối tâm)

Xét đường tròn \((\mathrm{O})\) có \(\mathrm {AC}\) là đường kính, suy ra \(\triangle \mathrm{ABC}\) vuông tại \(\mathrm B\) hay \(\widehat{\mathrm{CBA}}=90^{\circ}\)

Xét đường tròn \(\left(\mathrm{O}^{\prime}\right)\) có \(\mathrm {AD}\) là đường kính, suy ra \(\triangle \mathrm{ABD}\) vuông tại \(\mathrm D\) hay \(\widehat{\mathrm{DBA}}=90^{\circ}\)

Suy ra \(\widehat{\mathrm{CBA}}+\widehat{\mathrm{DBA}}=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}\) hay ba điểm \(\mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}\) thẳng hàng.

Xét tam giác \(\mathrm {ADC}\) có \(\mathrm O\) là trung điểm đoạn \(\mathrm {AC}\) và \(\mathrm{O}^{\prime}\) là trung điểm đoạn \(\mathrm {AD}\) nên \(\mathrm{OO}^{\prime}\) là đường trung bình của tam giác \(\mathrm{ACD} \Rightarrow \mathrm{OO}^{\prime}=\frac{\mathrm{DC}}{2}\) (tính chất đường trung bình)

Do \(\mathrm{AC}<\mathrm{AD}, \mathrm{AB} \perp \mathrm{CD}\) tại \(\mathrm {B}\) nên \(\mathrm{BC}<\mathrm{BD}\).

Vì \(\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}-5 \sqrt{\frac{1}{5}}=|\sqrt{5}-1|-5 \cdot \frac{\sqrt{5}}{|5|}=\sqrt{5}-1-\sqrt{5}=-1\)

Vì hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát \(\left\{\begin{array}{l}{ax}+{by}={c} \\ {a}^{\prime} {x}+{b}^{\prime} {y}={c}^{\prime}\end{array}\right.\), trong đó \(({a} \neq 0\) hoặc \(b \neq 0, a' \neq 0\) hoặc \(\left.b^{\prime} \neq 0\right)\) nên hệ \(\left\{\begin{array}{l}x-2 y=0 \\ 2 x+3 y=1\end{array}\right.\) là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.