Câu hỏi:

Kẻ đường cao \(A D\).

Xét tam giác \(A C D\) vuông tại \(D\), ta có: \(A D=A C \cdot \sin C=3,5 \cdot \sin 50^{\circ} \approx 2,68 \mathrm{~cm}\)

\(C D=A C \cdot \cos C=3,5 \cdot \cos 50^{\circ} \approx 2,25 \mathrm{~cm}\)

Xét tam giác \(A B D\) có \(B D=A D \cdot \cot B \approx 2,68 \cdot \cot 60^{\circ} \approx 1,55 \mathrm{~cm}\)

Vậy \(B C=B D+C D=3,8 \mathrm{~cm}\)

Diện tích hình quạt tròn cung \(30^{\circ}\) là: \(S=\frac{\pi R^2 \cdot 30}{360}=3 \pi \)

\(\Leftrightarrow R^2=\frac{360 \cdot 3 \pi}{\pi \cdot 30}=36  \Rightarrow R=6 \mathrm{~cm}\)

Xét \(\triangle \mathrm{OAO}\) ' vuông tại A có AE là đường cao nên : \(\frac{1}{\mathrm{AE}^2}=\frac{1}{\mathrm{AO}^2}+\frac{1}{\mathrm{AO^\prime}^{2 }}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{\mathrm{AE}^2}=\frac{1}{8^2}+\frac{1}{6^2} \Rightarrow \mathrm{AE}=\frac{24}{5}=4,8 \mathrm{~cm}\)

Theo định lý: Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây chung. Hay \(\mathrm{OO}^{\prime}\) là đường trung trực của \(\mathrm{AB}\).

Nên: \(\mathrm{AB}=2 \cdot \mathrm{AE}=2 \cdot \frac{24}{5}=\frac{48}{5}=9,6 \mathrm{~cm}\).

Gọi \(x~(cm, x>0)\) là độ dài cạnh của thùng hình lập phương cần làm.

Ta có: \(x^3=1331\), suy ra \(x=\sqrt[3]{1331}=11~(\mathrm{cm})\).

Diện tích cần sơn của thùng gỗ hình lập phương là: \(5.11^2=605\left(\mathrm{cm}^2\right)\)

\(\begin{aligned}& \frac{4 x-5}{-3}>\frac{7-x}{-5} \\& \Leftrightarrow \frac{4 x-5}{3}<\frac{7-x}{5}\\& \Leftrightarrow \frac{5(4 x-5)}{15}<\frac{3(7-x)}{15} \\& \Leftrightarrow 20 x-25<21-3 x \\& \Leftrightarrow 23 x<46 \\& \Leftrightarrow x<2\end{aligned}\)

Mà \(x\) là số nguyên lớn nhất nên \(x=1\)