Câu hỏi:

Quan sát đồ thị, ta thấy:

• Đồ thị hàm số có dạng của hàm bậc 3: $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$


• $a > 0$ vì nhánh cuối của đồ thị đi lên. Do đó, loại các đáp án B và D.


• Đồ thị hàm số đi qua điểm $(0; 1)$, do đó, $d = 1$ (tất cả các đáp án đều thỏa mãn)


• Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía trục $Oy$. Do đó, phương trình $y' = 0$ phải có 2 nghiệm phân biệt.

Xét đáp án A: $y = x^3 - 2x + 1 => y' = 3x^2 - 2 = 0 <=> x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$. Vậy hàm số có 2 cực trị.
Xét đáp án C: $y = x^3 - 3x + 1 => y' = 3x^2 - 3 = 0 <=> x = \pm 1$. Vậy hàm số có 2 cực trị.
Để phân biệt đáp án A và C, ta thấy điểm cực trị bên phải của đồ thị nằm bên trái điểm $x=1$. Do đó, đáp án C ($y = x^3 - 3x + 1$) phù hợp.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:

• $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ nên $y = 0$ là tiệm cận ngang.
• $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ nên $y = 0$ là tiệm cận ngang.
• $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$ nên $x = 0$ là tiệm cận đứng.

Vậy, đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng. Tổng số tiệm cận là 3.

Ta có: $\frac{1}{x^2-2x} = \frac{1}{x(x-2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-2}$.
Suy ra $1 = A(x-2) + Bx$.
Chọn $x=0$ ta được $A=-\frac{1}{2}$.
Chọn $x=2$ ta được $B=\frac{1}{2}$.
Vậy $\int \frac{dx}{x^2-2x} = \int \left(-\frac{1}{2x} + \frac{1}{2(x-2)}\right) dx = -\frac{1}{2}ln|x| + \frac{1}{2}ln|x-2| + C = \frac{1}{2}ln\left|\frac{x-2}{x}\right| + C$.

Trong hình hộp, các cạnh bên song song và bằng nhau.
Do đó: $\overrightarrow{AA^{\prime}} = \overrightarrow{BB^{\prime}}$

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow{u} = (2; -1; 1)$.