Câu hỏi:

Ta có: $\frac{1}{x^2-2x} = \frac{1}{x(x-2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-2}$.
Suy ra $1 = A(x-2) + Bx$.
Chọn $x=0$ ta được $A=-\frac{1}{2}$.
Chọn $x=2$ ta được $B=\frac{1}{2}$.
Vậy $\int \frac{dx}{x^2-2x} = \int \left(-\frac{1}{2x} + \frac{1}{2(x-2)}\right) dx = -\frac{1}{2}ln|x| + \frac{1}{2}ln|x-2| + C = \frac{1}{2}ln\left|\frac{x-2}{x}\right| + C$.

Trong hình hộp, các cạnh bên song song và bằng nhau.
Do đó: $\overrightarrow{AA^{\prime}} = \overrightarrow{BB^{\prime}}$

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow{u} = (2; -1; 1)$.

Phương trình mặt cầu có tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R$ là: $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$.
Trong trường hợp này, tâm $I(1;2;-3)$ và bán kính $R=5$ nên phương trình mặt cầu là: $(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z+3)^2 = 5^2 = 25$.

Vì $f(x) \le M$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ và tồn tại $x_0$ sao cho $f(x_0) = M$ nên $M$ là giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$.
Do đó, hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $M$.