Câu hỏi:

Trong hình hộp, các cạnh bên song song và bằng nhau.
Do đó: $\overrightarrow{AA^{\prime}} = \overrightarrow{BB^{\prime}}$

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow{u} = (2; -1; 1)$.

Phương trình mặt cầu có tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R$ là: $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$.
Trong trường hợp này, tâm $I(1;2;-3)$ và bán kính $R=5$ nên phương trình mặt cầu là: $(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z+3)^2 = 5^2 = 25$.

Vì $f(x) \le M$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ và tồn tại $x_0$ sao cho $f(x_0) = M$ nên $M$ là giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$.
Do đó, hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $M$.

Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{MN}$, ta lấy tọa độ điểm $N$ trừ đi tọa độ điểm $M$ (giả sử $M(x_M; y_M; z_M)$ và $N(x_N; y_N; z_N)$ thì $\overrightarrow{MN} = (x_N - x_M; y_N - y_M; z_N - z_M)$).

Tuy nhiên, đề bài không cho tọa độ của điểm $M$ và $N$. Do đó, không thể xác định được đáp án chính xác. Dựa vào các đáp án, ta có thể suy đoán tọa độ của $M$ và $N$ như sau:

Giả sử $\overrightarrow{MN} = (2; -2; 2)$, thì có thể $M(1; 1; 1)$ và $N(3; -1; 3)$.