Câu hỏi:
Một cửa hàng dự định làm kệ sách và bàn làm việc để bán. Mỗi kệ sách cần 5 giờ chế biến gỗ và 4 giờ hoàn thiện. Mỗi bàn làm việc cần 10 giờ chế biến gỗ và 3 giờ hoàn thiện. Mỗi tháng cửa hàng có không quá 600 giờ để chế biến gỗ và không quá 240 giờ để hoàn thiện. Lợi nhuận dự kiến của mỗi kệ sách là 400 nghìn đồng và mỗi bàn làm việc là 750 nghìn đồng. Mỗi tháng cửa hàng cần làm bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để lợi nhuận thu được là lớn nhất nếu bán hết sản phẩm làm ra?
Trả lời:
Đáp án đúng:
Gọi $x$ là số kệ sách và $y$ là số bàn làm việc.
Ta có hệ bất phương trình:
Hàm mục tiêu là $L = 400x + 750y$ (đơn vị: nghìn đồng).
Xét các điểm giao của các đường thẳng:
Giải hệ phương trình: $5x + 10y = 600$ và $x = 0$, ta được $10y=600 => y=60$, điểm (0,60) Giải hệ phương trình: $4x + 3y = 240$ và $y = 0$, ta được $4x = 240 => x = 60$, điểm (60,0) Giải hệ phương trình: $4x + 3y = 240$ và $x = 0$, ta được $3y = 240 => y = 80$, điểm (0,80) Giải hệ phương trình: $5x + 10y = 600$ và $y = 0$, ta được $5x = 600 => x= 120$, điểm (120,0) Giải hệ phương trình: $5x + 10y = 600$ và $4x + 3y = 240$ $5x + 10y = 600 => x = (600-10y)/5= 120 - 2y$ $4(120-2y) + 3y = 240 => 480 -8y + 3y = 240 => 240 = 5y => y = 48$ $x = 120 - 2*48 = 120 - 96 = 24$ Vậy nghiệm là (24, 48). Xét các điểm:
Ta có hệ bất phương trình:
- $5x + 10y \le 600$
- $4x + 3y \le 240$
- $x \ge 0$
- $y \ge 0$
Hàm mục tiêu là $L = 400x + 750y$ (đơn vị: nghìn đồng).
Xét các điểm giao của các đường thẳng:
- $(0, 0): L = 0$
- $(0, 60): L = 750 * 60 = 45000$
- $(60, 0): L = 400 * 60 = 24000$
Giải hệ phương trình: $5x + 10y = 600$ và $x = 0$, ta được $10y=600 => y=60$, điểm (0,60) Giải hệ phương trình: $4x + 3y = 240$ và $y = 0$, ta được $4x = 240 => x = 60$, điểm (60,0) Giải hệ phương trình: $4x + 3y = 240$ và $x = 0$, ta được $3y = 240 => y = 80$, điểm (0,80) Giải hệ phương trình: $5x + 10y = 600$ và $y = 0$, ta được $5x = 600 => x= 120$, điểm (120,0) Giải hệ phương trình: $5x + 10y = 600$ và $4x + 3y = 240$ $5x + 10y = 600 => x = (600-10y)/5= 120 - 2y$ $4(120-2y) + 3y = 240 => 480 -8y + 3y = 240 => 240 = 5y => y = 48$ $x = 120 - 2*48 = 120 - 96 = 24$ Vậy nghiệm là (24, 48). Xét các điểm:
- (0,0) => L = 0
- (0,60) => L = 45000
- (60,0) => L = 24000
- (24,48) => L = 45600
- 120, 0 => 5*120 = 600, 4*120 = 480 >240 loại
- 0, 60 => 10*60 = 600, 3*60 = 180<240 ok
- 48,36 => 5*48 + 10*36 = 240+360 = 600, 4*48 + 3*36 = 192+108=300 > 240 loại. Xem xét lại điểm giao của 2 đường $5x + 10y = 600$ và $4x + 3y = 240$. Giả sử $x=48$, thì $5*48 + 10y = 600 => 240+10y=600=> 10y = 360=> y = 36$
- 15, 52 => 5*15 + 10*52 = 75 + 520 = 595<600, 4*15 + 3*52 = 60 + 156 = 216<240 ok
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng:
Đây là một bài toán tự luận, không phải trắc nghiệm. Để giải bài này, ta cần sử dụng kiến thức về vector vận tốc và hệ phương trình.
Phân tích bài toán:
* Gọi $\vec{v_A}$ và $\vec{v_B}$ lần lượt là vector vận tốc của tàu A và tàu B.
* Gọi $t$ là thời gian để tàu A gặp tàu B.
* Gọi $\vec{r_A}$ và $\vec{r_B}$ lần lượt là vector vị trí của tàu A và tàu B tại thời điểm gặp nhau.
Giải:
1. Chọn hệ tọa độ: Chọn hệ tọa độ Oxy với gốc O tại vị trí ban đầu của tàu A, trục Ox hướng đông, trục Oy hướng bắc.
2. Phân tích vị trí ban đầu của tàu B: Vị trí ban đầu của tàu B so với tàu A là $\vec{d} = (50\sin(34^{\circ}), 50\cos(34^{\circ})) \approx (27.96, 41.45)$ km.
3. Vector vận tốc của tàu B: $\vec{v_B} = (20, 0)$ km/h.
4. Vector vận tốc của tàu A: Gọi $\theta$ là góc hợp bởi hướng đi của tàu A và trục Ox. Vậy $\vec{v_A} = (30\cos(\theta), 30\sin(\theta))$ km/h.
5. Phương trình chuyển động:
* Tàu A: $\vec{r_A} = \vec{v_A} t = (30t\cos(\theta), 30t\sin(\theta))$
* Tàu B: $\vec{r_B} = \vec{d} + \vec{v_B} t = (27.96 + 20t, 41.45)$
6. Điều kiện gặp nhau: $\vec{r_A} = \vec{r_B}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} 30t\cos(\theta) = 27.96 + 20t \\ 30t\sin(\theta) = 41.45 \end{cases}$
7. Giải hệ phương trình:
Từ phương trình thứ hai: $\sin(\theta) = \frac{41.45}{30t}$. Thay vào phương trình thứ nhất: $30t \cos(\theta) = 27.96 + 20t \Rightarrow \cos(\theta) = \frac{27.96+20t}{30t}$.
Sử dụng $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$:
$\left(\frac{41.45}{30t}\right)^2 + \left(\frac{27.96 + 20t}{30t}\right)^2 = 1$
$41.45^2 + (27.96 + 20t)^2 = (30t)^2$
$1718.1025 + 781.7616 + 1118.4t + 400t^2 = 900t^2$
$500t^2 - 1118.4t - 2499.8641 = 0$
Giải phương trình bậc hai này ta được $t \approx 3.4$ giờ (loại nghiệm âm).
8. Tính góc $\theta$:
$\sin(\theta) = \frac{41.45}{30 \times 3.4} \approx 0.40647 \Rightarrow \theta \approx 24.01^{\circ}$
Kết luận:
a) Tàu A cần chuyển động theo hướng khoảng $E24.01^{\circ}N$ (hoặc $N65.99^{\circ}E$).
b) Sau khoảng 3.4 giờ thì tàu A gặp tàu B.
Phân tích bài toán:
* Gọi $\vec{v_A}$ và $\vec{v_B}$ lần lượt là vector vận tốc của tàu A và tàu B.
* Gọi $t$ là thời gian để tàu A gặp tàu B.
* Gọi $\vec{r_A}$ và $\vec{r_B}$ lần lượt là vector vị trí của tàu A và tàu B tại thời điểm gặp nhau.
Giải:
1. Chọn hệ tọa độ: Chọn hệ tọa độ Oxy với gốc O tại vị trí ban đầu của tàu A, trục Ox hướng đông, trục Oy hướng bắc.
2. Phân tích vị trí ban đầu của tàu B: Vị trí ban đầu của tàu B so với tàu A là $\vec{d} = (50\sin(34^{\circ}), 50\cos(34^{\circ})) \approx (27.96, 41.45)$ km.
3. Vector vận tốc của tàu B: $\vec{v_B} = (20, 0)$ km/h.
4. Vector vận tốc của tàu A: Gọi $\theta$ là góc hợp bởi hướng đi của tàu A và trục Ox. Vậy $\vec{v_A} = (30\cos(\theta), 30\sin(\theta))$ km/h.
5. Phương trình chuyển động:
* Tàu A: $\vec{r_A} = \vec{v_A} t = (30t\cos(\theta), 30t\sin(\theta))$
* Tàu B: $\vec{r_B} = \vec{d} + \vec{v_B} t = (27.96 + 20t, 41.45)$
6. Điều kiện gặp nhau: $\vec{r_A} = \vec{r_B}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} 30t\cos(\theta) = 27.96 + 20t \\ 30t\sin(\theta) = 41.45 \end{cases}$
7. Giải hệ phương trình:
Từ phương trình thứ hai: $\sin(\theta) = \frac{41.45}{30t}$. Thay vào phương trình thứ nhất: $30t \cos(\theta) = 27.96 + 20t \Rightarrow \cos(\theta) = \frac{27.96+20t}{30t}$.
Sử dụng $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$:
$\left(\frac{41.45}{30t}\right)^2 + \left(\frac{27.96 + 20t}{30t}\right)^2 = 1$
$41.45^2 + (27.96 + 20t)^2 = (30t)^2$
$1718.1025 + 781.7616 + 1118.4t + 400t^2 = 900t^2$
$500t^2 - 1118.4t - 2499.8641 = 0$
Giải phương trình bậc hai này ta được $t \approx 3.4$ giờ (loại nghiệm âm).
8. Tính góc $\theta$:
$\sin(\theta) = \frac{41.45}{30 \times 3.4} \approx 0.40647 \Rightarrow \theta \approx 24.01^{\circ}$
Kết luận:
a) Tàu A cần chuyển động theo hướng khoảng $E24.01^{\circ}N$ (hoặc $N65.99^{\circ}E$).
b) Sau khoảng 3.4 giờ thì tàu A gặp tàu B.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Gọi $\overrightarrow{F}$ là hợp lực của $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$. Vì $\widehat{AMB} = 90^\circ$ nên tam giác $MAB$ vuông tại $M$.
Theo định lý Pytago, ta có:
$F^2 = F_1^2 + F_2^2 = 400^2 + 300^2 = 160000 + 90000 = 250000$
$F = \sqrt{250000} = 500$ N.
Theo định lý Pytago, ta có:
$F^2 = F_1^2 + F_2^2 = 400^2 + 300^2 = 160000 + 90000 = 250000$
$F = \sqrt{250000} = 500$ N.
Lời giải:
Đáp án đúng: A
Mệnh đề "Mọi số thực đều có bình phương không âm" có nghĩa là với mọi số thực $x$, bình phương của nó ($x^2$) luôn lớn hơn hoặc bằng 0.
Ký hiệu $\forall$ biểu thị "với mọi".
Ký hiệu $\in$ biểu thị "thuộc".
Ký hiệu $\mathbb{R}$ biểu thị tập hợp số thực.
Do đó, mệnh đề có thể được viết là $\forall x \in \mathbb{R}:{x^2} \ge 0$.
Ký hiệu $\forall$ biểu thị "với mọi".
Ký hiệu $\in$ biểu thị "thuộc".
Ký hiệu $\mathbb{R}$ biểu thị tập hợp số thực.
Do đó, mệnh đề có thể được viết là $\forall x \in \mathbb{R}:{x^2} \ge 0$.
