Câu hỏi:

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = (2x)^{\sqrt{2}}$ là

\dfrac{{{2}^{\sqrt{2}}}{{x}^{\sqrt{2}+1}}}{\sqrt{2}+1}+C

\dfrac{{{\left( 2x \right)}^{\sqrt{2}+1}}}{\sqrt{2}+1}+C

{{\left( 2x \right)}^{\sqrt{2}}}+C

\dfrac{{{\left( 2x \right)}^{\sqrt{2}}}}{\ln \left( 2x \right)}+C

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Ta có công thức nguyên hàm: $\int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (với $n \neq -1$).
Áp dụng công thức này, ta có:
$\int (2x)^{\sqrt{2}} dx = \int 2^{\sqrt{2}} x^{\sqrt{2}} dx = 2^{\sqrt{2}} \int x^{\sqrt{2}} dx = 2^{\sqrt{2}} \dfrac{x^{\sqrt{2}+1}}{\sqrt{2}+1} + C = \dfrac{(2x)^{\sqrt{2}}x}{\sqrt{2}+1} + C = \dfrac{{{\left( 2x \right)}^{\sqrt{2}+1}}}{2^{\sqrt{2}}} \dfrac{2^{\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}+1}}+C = \dfrac{{{\left( 2x \right)}^{\sqrt{2}+1}}}{\sqrt{2}+1}+C$.
Vậy đáp án đúng là $\dfrac{{{\left( 2x \right)}^{\sqrt{2}+1}}}{\sqrt{2}+1}+C$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Chủ đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng - Dạng 2: Nguyên hàm của hàm số lũy thừa; hàm số phân thức hữu tỉ

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 20

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 9:

Cho biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ . Nguyên hàm $G(x)=\displaystyle \int [ f(x)-1]\mathrm{d}x$ bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có: $G(x) = \int [f(x) - 1] dx = \int f(x) dx - \int 1 dx = F(x) - x + C$.
Vậy đáp án đúng là $F(x)-x+C$.

Câu 10:

Cho hàm số $f(x)=x^3-2x.$ Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có công thức tính nguyên hàm: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
Do đó: $\int f(x) dx = \int (x^3 - 2x) dx = \int x^3 dx - 2\int x dx = \frac{x^4}{4} - 2.\frac{x^2}{2} + C = \frac{x^4}{4} - x^2 + C$.

Câu 11:

Trên $\mathbb{R}$ , hàm số $f(x)=2 \, 025x+2 \, 026$ là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có $f(x)$ là một nguyên hàm của $g(x)$ nếu $f'(x) = g(x)$.

Tính đạo hàm của $f(x)$:

$f'(x) = (2 \, 025x + 2 \, 026)' = 2 \, 025$.

Vậy, $f(x)$ là một nguyên hàm của $g(x) = 2 \, 025$.

Câu 12:

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=\dfrac{3}{x}-\dfrac{4}{x^2}$ với $x \ne 0$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có:
$\int f(x) dx = \int (\dfrac{3}{x}-\dfrac{4}{x^2}) dx = 3\int \dfrac{1}{x} dx - 4\int x^{-2} dx$
$= 3\ln|x| - 4(\dfrac{x^{-1}}{-1}) + C = 3\ln|x| + \dfrac{4}{x} + C$.

Câu 13:

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=\dfrac{1}{5x+4}$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có công thức nguyên hàm: $\int \dfrac{1}{ax+b} dx = \dfrac{1}{a}\ln|ax+b| + C$.
Áp dụng vào bài toán:
$\int \dfrac{1}{5x+4} dx = \dfrac{1}{5}\ln|5x+4| + C$.
Vậy đáp án là $\dfrac{1}{5}\ln \left| 5x+4 \right|+C$.

Câu 14:

Hàm số $f(x)$ nào dưới đây thoả mãn $\displaystyle \int f(x) \mathrm{d}x=\ln |x+3|+C$ ?

Lời giải: