Câu hỏi:

Tính $\displaystyle\int{\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}\mathrm{d}x}$ được kết quả là

\dfrac{4}{15}x\sqrt[15]{x^7}+C

\dfrac{8}{15}x\sqrt[15]{x}+C

\dfrac{8}{15}x\sqrt[15]{x^7}+C

\dfrac{4}{15}x\sqrt[15]{x}+C

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Ta có: $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}} = \sqrt{x\sqrt{x^{3/2}}} = \sqrt{x \cdot x^{3/4}} = \sqrt{x^{7/4}} = x^{7/8}$.
Do đó, $\displaystyle\int{\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}\mathrm{d}x} = \displaystyle\int x^{7/8} dx = \dfrac{x^{7/8 + 1}}{7/8 + 1} + C = \dfrac{x^{15/8}}{15/8} + C = \dfrac{8}{15}x^{15/8} + C = \dfrac{8}{15}x^{1 + 7/8} + C = \dfrac{8}{15}x \cdot x^{7/8} + C = \dfrac{8}{15}x\sqrt[8]{x^7} + C = \dfrac{8}{15}x\sqrt[15]{x^7}+C$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Chủ đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng - Dạng 2: Nguyên hàm của hàm số lũy thừa; hàm số phân thức hữu tỉ

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 20

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 18:

Trên khoảng $(0\,;\,+\infty)$ , họ nguyên hàm của hàm số $y=f(x) = 2\sqrt[3]{x}$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có: $f(x) = 2\sqrt[3]{x} = 2x^{\frac{1}{3}}$
Vậy $\int f(x) dx = \int 2x^{\frac{1}{3}} dx = 2 \int x^{\frac{1}{3}} dx = 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} + C = 2 \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = 2 \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C = \frac{3}{2} x \sqrt[3]{x} + C$.

Câu 19:

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=2^{3x}+\dfrac{1}{x^2}$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có:

$\int 2^{3x} dx = \dfrac{1}{3} \int 2^{3x} d(3x) = \dfrac{2^{3x}}{3\ln 2} + C$

$\int \dfrac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx = \dfrac{x^{-1}}{-1} + C = -\dfrac{1}{x} + C$

Vậy $F(x)=\dfrac{2^{3x}}{3\ln 2}-\dfrac{1}{x}+C$

Câu 20:

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=\dfrac{1}{x(x-1)}$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có: $\dfrac{1}{x(x-1)} = \dfrac{1}{x-1} - \dfrac{1}{x}$
Do đó: $\int \dfrac{1}{x(x-1)} dx = \int (\dfrac{1}{x-1} - \dfrac{1}{x}) dx = \ln|x-1| - \ln|x| + C = \ln \left| \dfrac{x-1}{x} \right|+C$

Câu 1:

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^5+3x^2$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có công thức nguyên hàm: $\int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
Vậy:
$\int (x^5 + 3x^2) dx = \int x^5 dx + 3\int x^2 dx = \dfrac{x^6}{6} + 3\dfrac{x^3}{3} + C = \dfrac{1}{6}x^6 + x^3 + C$.

Câu 2:

Cho hằng số $C$ và hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y = f(x).$ Nguyên hàm $I=\displaystyle \int \left[ 2f(x)+1 \right]\mathrm{d}x$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có:
$\displaystyle I=\int \left[ 2f(x)+1 \right]\mathrm{d}x = 2\int f(x) dx + \int 1 dx = 2F(x) + x + C$.
Vậy đáp án đúng là $I=2F(x)+x+C$.

Câu 3:

Trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ , họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^{\frac43}$ là

Lời giải: