Câu hỏi:

Để hàm số $f(x) = \frac{\sqrt{2-x} + \sqrt{2+x}}{x}$ xác định, cần có các điều kiện sau:

• $2 - x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 2$


• $2 + x \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -2$


• $x \neq 0$

Kết hợp các điều kiện trên, ta có: $-2 \leq x \leq 2$ và $x \neq 0$. Vậy tập xác định của hàm số là $D = [-2; 2] \setminus \{0\}$.

Hàm số $y = ax + b$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $a > 0$.
Trong trường hợp này, $a = m - 2021$. Vậy, điều kiện để hàm số đồng biến là:
$m - 2021 > 0 \Leftrightarrow m > 2021$.

Ta có:
$\sin{178^\circ} = \sin{(180^\circ - 2^\circ)} = \sin{2^\circ}$
$\cos{106^\circ} = \cos{(90^\circ + 16^\circ)} = -\sin{16^\circ}$
Vậy biểu thức trở thành:
$\sin{12^\circ} + \sin{2^\circ} - \sin{16^\circ} + \cos{74^\circ} = \sin{12^\circ} + \sin{2^\circ} - \sin{16^\circ} + \sin{16^\circ} = \sin{12^\circ} + \sin{12^\circ} = 2\sin{12^\circ}$
Vì $\cos(90 - x) = sin(x)$ nên $\cos{74^\circ} = \sin{16^\circ}$
$\sin{178^\circ} = \sin{2^\circ}$
$\cos{106^\circ} = \cos{(180-74)^\circ} = -\cos{74^\circ}$
Vậy
$\sin{12^\circ} + \sin{178^\circ} + \cos{106^\circ} + \cos{74^\circ} = \sin{12^\circ} + \sin{2^\circ} - \cos{74^\circ} + \cos{74^\circ} = \sin{12^\circ} + \sin{2^\circ} $