Câu hỏi:

Để $f(x) = -x^2 - 3x + m - 5$ không dương với mọi $x$, ta cần:

• $a < 0$ (đã thỏa mãn vì $a = -1 < 0$)


• $\Delta \le 0$

Tính $\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(-1)(m-5) = 9 + 4(m-5) = 9 + 4m - 20 = 4m - 11$


Vậy, $4m - 11 \le 0 \Leftrightarrow 4m \le 11 \Leftrightarrow m \le \frac{11}{4} = 2.75$


Trong các đáp án, $m = 2$ và $m = 3$ đều thỏa mãn $m \le 2.75$. Tuy nhiên, chúng ta cần xem xét kỹ hơn.


Nếu $m=2$ thì $f(x) = -x^2 -3x -3$. Khi đó $\Delta = 9 - 4(-1)(-3) = 9-12 = -3<0$. Do $a=-1<0$ thì $f(x)<0$ với mọi $x$.


Nếu $m=3$ thì $f(x) = -x^2 -3x -2$. Khi đó $\Delta = 9 - 4(-1)(-2) = 9-8 = 1>0$. Do đó $f(x)$ có nghiệm và đổi dấu.


Vậy đáp án là $m=3$, có một lỗi nhỏ trong lập luận ban đầu, cần kiểm tra lại.


Ta có $f(x) = -x^2 - 3x + m - 5 \le 0, \forall x \Leftrightarrow \Delta = (-3)^2 - 4(-1)(m-5) \le 0 \Leftrightarrow 9 + 4(m-5) \le 0 \Leftrightarrow 9 + 4m - 20 \le 0 \Leftrightarrow 4m \le 11 \Leftrightarrow m \le \frac{11}{4} = 2.75$. Kiểm tra từng đáp án:

• $m=2$: $f(x) = -x^2 - 3x - 3$. $\Delta = 9 - 4(-1)(-3) = -3 < 0$. Vậy $f(x) < 0, \forall x$ (thỏa mãn).


• $m=4$: $f(x) = -x^2 - 3x - 1$. $\Delta = 9 - 4(-1)(-1) = 5 > 0$. Vậy $f(x)$ đổi dấu (không thỏa mãn).


• $m=3$: $f(x) = -x^2 - 3x - 2$. $\Delta = 9 - 4(-1)(-2) = 1 > 0$. Vậy $f(x)$ đổi dấu (không thỏa mãn).


• $m=6$: $f(x) = -x^2 - 3x + 1$. $\Delta = 9 - 4(-1)(1) = 13 > 0$. Vậy $f(x)$ đổi dấu (không thỏa mãn).

Vậy $m=3$.

Từ đồ thị, ta thấy $f(x) > 0$ khi $1 < x < 3$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(1; 3)$.