Câu hỏi:

a) Ta có \(AB\cap AD=A\Rightarrow \) Tọa độ \(A\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{align}  & x+3y=6 \\  & 2x-5y=1 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=3 \\  & y=1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow A(3;1).\)

b) Do \(I\) là trung điểm của \(AC\) nên 

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}_{I}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{C}}}{2} \\  & {{y}_{I}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{C}}}{2} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \)\(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{C}}=2{{x}_{I}}-{{x}_{A}} \\  & {{y}_{C}}=2{{y}_{I}}-{{y}_{A}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow C(3;9).\)

c) Đường thẳng \(BC//AD:2x-5y-1=0\) .

\(\Rightarrow BC:2x-5y+m=0,\text{ }(m\ne -1).\)

Mà \(C(3;9)\in BC:2x-5y+m=0\Leftrightarrow \)\(BC:2x-5y+39=0\). 

d) Ta có \(AB\cap BC=B\Rightarrow \) Tọa độ \(B\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{align}  & x+3y=6 \\  & 2x-5y=-39 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=\frac{-87}{11} \\  & y=\frac{51}{11} \\ \end{align} \right.\Rightarrow B(\frac{-87}{11};\frac{51}{11}).\)

Ta có \(AB=\frac{40\sqrt{10}}{11};\text{ }AC=8;\text{ }BC=\frac{24\sqrt{29}}{11}\).

Ta có:

\(\begin{align}  & p=\left( \frac{40\sqrt{10}}{11}+8+\frac{24\sqrt{29}}{11} \right):2 \\  & \Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-AC)}=\frac{480}{11}. \\ \end{align}\)

Khi đó diện tích hình bình hành \(ABCD\) bằng \({{S}_{ABCD}}=\frac{960}{11}\).

Chọn một cái quần có \(4\) cách chọn.

Chọn một cái áo có \(6\) cách chọn.

Chọn một chiếc cà vạt có \(3\) cách chọn.

Số cách chọn một bộ "quần-áo-cà vạt" khác nhau, áp dụng quy tắc nhân có \(4.6.3=72\) cách chọn.

Mốt của mẫu số liệu trên là \(2\).

Do\(A\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\):

\(\left\{ \begin{align}  & \frac{{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{2}={{x}_{A}} \\  & \frac{{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{2}={{y}_{A}} \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & \frac{-2+a}{2}=1 \\  & \frac{3+b}{2}=4 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=4 \\  & b=5 \\ \end{align} \right.\)

Vậy tích \(ab=20.\)

Vì \(\Delta \) cắt các trục \(Ox,Oy\) lần lượt tại các điểm \(A,B\) sao cho \(OA=2,OB=5\) nên \(\left( \Delta  \right)\) đi qua các điểm \(A\left( 2;0 \right),B\left( 0;5 \right)\). Nên phương trình đường thẳng \(\Delta \) có dạng:

\(\frac{x}{2}+\frac{y}{5}=1\Leftrightarrow 10x+4y-20=0\).

Vậy \(P=m+n=14\).