Câu hỏi:

Phương trình dao động điều hòa: $x = 3\cos \left( {4\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right)$.
Vật đi qua vị trí cân bằng khi $x = 0$, tức là:
$3\cos \left( {4\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0 \Rightarrow 4\pi t - \frac{{2\pi }}{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi$, với $k$ là số nguyên.
$\Rightarrow 4t = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + k = \frac{7}{6} + k \Rightarrow t = \frac{7}{24} + \frac{k}{4}$.
Xét $0 < t < 5$, ta có:
$0 < \frac{7}{24} + \frac{k}{4} < 5 \Rightarrow -\frac{7}{24} < \frac{k}{4} < 5 - \frac{7}{24} = \frac{113}{24} \Rightarrow -\frac{7}{6} < k < \frac{113}{6} \approx 18.83$.
Vì $k$ là số nguyên, nên $k$ có thể nhận các giá trị từ -1 đến 18. Tổng cộng có 20 giá trị.
Vậy, trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 20 lần. Tuy nhiên, cần kiểm tra lại thời điểm ban đầu:
Tại $t=0$, $x = 3cos(-\frac{2\pi}{3}) = 3(-\frac{1}{2})=-\frac{3}{2}$ (chưa qua vị trí cân bằng).
Xét các nghiệm:
$t = \frac{7}{24} + \frac{k}{4}$
$k = -1 => t = \frac{7}{24} - \frac{1}{4} = \frac{1}{24} > 0 $
$k = 0 => t = \frac{7}{24} $
$k = 18 => t = \frac{7}{24} + \frac{18}{4} = \frac{7}{24} + \frac{108}{24} = \frac{115}{24} < 5$
Vậy, số lần vật đi qua vị trí cân bằng là 20.