Câu hỏi:

Vì \({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha  + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  = 1\)

\( \Rightarrow {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha  = 1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  = 1 - {( - \frac{3}{4})^2} = \frac{7}{{16}}\) .

Mà \({0^ \circ } < \alpha  < {90^ \circ }\) nên \({\rm{sin}}\alpha  > 0\) .

Do đó \({\rm{sin}}\alpha  = \sqrt {\frac{7}{{16}}}  = \frac{{\sqrt 7 }}{4}\) .

\({\rm{tan}}\alpha  = \frac{{{\rm{sin}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} = \frac{{\frac{{\sqrt 7 }}{4}}}{{ - \frac{3}{4}}} =  - \frac{{\sqrt 7 }}{3}\) ;

\({\rm{cot}}\alpha  = \frac{{{\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{sin}}\alpha }} =  - \frac{{3\sqrt 7 }}{7}\) .

Gọi tập hợp học sinh chỉ thích cầu lông là A , chỉ thích bóng đá là B , thích cả hai môn là C .

Theo giả thiết: \(n\left( A \right) = 18\) ; \(n\left( B \right) = 13\) ; \(n\left[ {\left( {A \cup B} \right) \cup C} \right] = 40\) .

⚡Số học sinh thích chơi cả hai môn câu lông và bóng đá:

\(n\left( C \right) = 40 - \left( {18 + 13} \right) = 9\) (học sinh).

⚡Số học sinh thích bóng đá:

\(n\left( {B \cup C} \right) = 13 + 9 = 22\) (học sinh).

⚡Số học sinh thích câu lông:

\(n\left( {A \cup C} \right) = 18 + 9 = 27\) (học sinh).

⚡Số học sinh chỉ thích chơi một trong hai môn cầu lông và bóng đá:

\(n\left( {A \cup B} \right) = 18 + 13 = 31\) (học sinh).

Để $A \cap B \neq \varnothing$ thì điều kiện là $\left\{\begin{array}{l}m-1 \leq \frac{m+3}{2} \\ {\left[\begin{array}{l}m-1<-3 \\ \frac{m+3}{2} \geq 3\end{array}\right.}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m \leq 5 \\ {\left[\begin{array}{l}m<-2 \\ m \geq 3\end{array} .\right.}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m<-2 \\ 3 \leq m \leq 5\end{array}\right.$

Vậy $m \in(-\infty ;-2) \cup[3 ; 5]$.

Gọi $T ,  L$ lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi Toán và các học sinh giỏi Lí.

Ta có:

\(n\left( T \right)\) : là số học sinh giỏi Toán

\(n\left( L \right)\) : là số học sinh giỏi Lí

\(n\left( {T \cap L} \right)\) : là số học sinh giỏi cả hai môn Toán và Lí

Khi đó số học sinh của lớp là: \(n\left( {T \cup L} \right) + 6\) .

Mà \(n\left( {T \cup L} \right) = n\left( T \right) + n\left( L \right) - n\left( {T \cap L} \right) = 25 + 23 - 14 = 34\) .

Vậy số học sinh của lớp là \(34 + 6 = 40\) học sinh.

Do \(x > 0,\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - 1 \le 0\) nên ta có \(\frac{y}{3} < 1 \Leftrightarrow y < 3\)

Do y nguyên dương nên \(y \in \left\{ {1;2} \right\}\) .

Với \(y = 1\) , ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ \frac{x}{2} + \frac{1}{3} - 1 \le 0}\\{x > 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow 0 < x \le \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = 1\) .

Với \(y = 2\) , ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ \frac{x}{2} + \frac{2}{3} - 1 \le 0}\\{x > 0}\end{array}} \right.\)

Vậy bất phương trình \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - 1 \le 0\) có nghiệm nguyên dương là \(\left( {1;1} \right)\) .