Câu hỏi:

Do \(x > 0,\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - 1 \le 0\) nên ta có \(\frac{y}{3} < 1 \Leftrightarrow y < 3\)

Do y nguyên dương nên \(y \in \left\{ {1;2} \right\}\) .

Với \(y = 1\) , ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ \frac{x}{2} + \frac{1}{3} - 1 \le 0}\\{x > 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow 0 < x \le \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = 1\) .

Với \(y = 2\) , ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ \frac{x}{2} + \frac{2}{3} - 1 \le 0}\\{x > 0}\end{array}} \right.\)

Vậy bất phương trình \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - 1 \le 0\) có nghiệm nguyên dương là \(\left( {1;1} \right)\) .

Gọi x và y lần lượt lần lượt là số ha cà phê và cacao mà hộ nông dân này trồng \(\left( {x \ge 0;\,y \ge 0} \right)\) .

Lợi nhận thu được là \(f\left( {x;y} \right) = 10x + 12y\) (triệu đồng).

Vì số công để trồng cà phê không vượt quá 100 nên:

\(20x \le 100\) hay \(x \le 5\) .

Vì số công để trồng cacao không vượt quá 180 nên:

\(30y \le 180\) hay \(y \le 6\) .

Ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ x + y \le 10}\\{0 \le x \le 5}\\{0 \le y \le 6}\end{array}} \right.\) .

Miền nghiệm của hệ là ngũ giác OABCD (kể cả biên) với \(O\left( {0;0} \right),\,A\left( {5;0} \right),\,B\left( {5;5} \right),\,C\left( {4;6} \right),\,D\left( {0;6} \right)\) .

Dễ thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất khi \(x = 4;\,y = 6\) .

Vậy cần trồng 4 ha cà phê và 6 ha cacao để thu được lợi nhuận lớn nhất.

Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ x \ge 1}\\{x \le 2}\\{y \ge 0}\\{y \le 3}\end{array}} \right.\) như sau:

Từ hình vẽ nhận thấy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABCD kể cả biên (phần không tô màu) với \(A\left( {1;3} \right);\,B\left( {2;3} \right);\,C\left( {2;0} \right);\,D\left( {1;0} \right)\) .

Người ta chứng minh được: biểu thức \(F\left( {x;y} \right) =  - x + 4y\) đạt giá trị nhỏ nhất tại các cặp số (x;y) là tọa độ một trong các đỉnh của tứ giác ABCD .

Tính giá trị của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) =  - x + 4y\) tại các cặp số (x;y) là tọa độ một trong các đỉnh của tứ giác ABCD rồi so sánh các giá trị đó ta được giá trị nhỏ nhất bằng \( - 2\) khi \(x = 2;\,y = 0\) .

Từ giả thiết, ta suy ra tam giác ABC có \(\widehat {CAB} = {60^ \circ }\) ; \(\widehat {ABC} = {105^ \circ }{30^{\rm{'}}}\) và \(c = 70.\)

Khi đó \(\hat A + \hat B + \hat C = {180^ \circ }\)

\( \Leftrightarrow \hat C = {180^ \circ } - \left( {\hat A + \hat B} \right)\)

\( = {180^ \circ } - {165^ \circ }{30^{\rm{'}}} = {14^ \circ }{30^{\rm{'}}}.\)

Theo định lí sin, ta có

\(\frac{b}{{{\rm{sin}}B}} = \frac{c}{{{\rm{sin}}C}}\)

hay \(\frac{b}{{{\rm{sin}}{{105}^ \circ }{{30}^{\rm{'}}}}} = \frac{{70}}{{{\rm{sin}}{{14}^ \circ }{{30}^{\rm{'}}}}}\)

Do đó \(AC = b = \frac{{70.{\rm{sin}}{{105}^ \circ }{{30}^{\rm{'}}}}}{{{\rm{sin}}{{14}^ \circ }{{30}^{\rm{'}}}}} \approx 269,4\) m.

Gọi CH là khoảng cách từ C đến mặt đất.

Tam giác vuông ACH có cạnh CH đối diện với góc \({30^ \circ }\) nên

\(CH = \frac{{AC}}{2} = \frac{{269,4}}{2} = 134,7\) m.

Vậy ngọn núi cao khoảng 135 m.

Mệnh đề gốc là "Bất phương trình $x-2<0$ vô nghiệm".

Mệnh đề phủ định của "vô nghiệm" là "có nghiệm".

Vậy mệnh đề phủ định của mệnh đề đã cho là "Bất phương trình $x-2<0$ có nghiệm".