Câu hỏi:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $\cos 2x = m - 1$ có nghiệm?

Trả lời:

Đáp án đúng:

Phương trình $\cos 2x = m - 1$ có nghiệm khi và chỉ khi $-1 \le m - 1 \le 1$.
Điều này tương đương với $0 \le m \le 2$.
Vì $m$ là số nguyên, nên $m$ có thể nhận các giá trị 0, 1, và 2.
Vậy, có 3 giá trị nguyên của $m$ để phương trình có nghiệm.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

20+ Câu trắc nghiệm giữa HK1 Toán 11 - CTST - Đề 1

17/09/2025

3 lượt thi

0 / 21

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 17:

Một cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có số hạng đầu \[{u_1} = 1\], công sai \[d = 4\]. Cần lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó để được tổng là \[561\]?

Lời giải:

Đáp án đúng:

Gọi $S_n$ là tổng của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
Ta có công thức: $S_n = \frac{n}{2}[2u_1 + (n-1)d]$
Theo đề bài, $S_n = 561$, $u_1 = 1$, $d = 4$.
Thay vào công thức, ta được:
$561 = \frac{n}{2}[2(1) + (n-1)4]$
$1122 = n[2 + 4n - 4]$
$1122 = n[4n - 2]$
$1122 = 4n^2 - 2n$
$4n^2 - 2n - 1122 = 0$
$2n^2 - n - 561 = 0$
Giải phương trình bậc hai này, ta có:
$\Delta = (-1)^2 - 4(2)(-561) = 1 + 4488 = 4489$
$\sqrt{\Delta} = \sqrt{4489} = 67$
$n_1 = \frac{1 + 67}{4} = \frac{68}{4} = 17$
$n_2 = \frac{1 - 67}{4} = \frac{-66}{4} = -16.5$ (loại vì $n$ phải là số nguyên dương)
Vậy, $n = 17$.

Câu 18:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy \[ABCD\] là hình bình hành. Mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] qua \[BD\] và song song với \[SA\], mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] cắt $SC$ tại \[K\]. Biết \[SK = mKC\], với \[m\] là số hữu tỉ. Xác định $m$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Vì $(α)$ đi qua $BD$ và song song với $SA$ nên giao tuyến của $(α)$ và $(SAC)$ là đường thẳng đi qua $O$ và song song với $SA$. Gọi giao điểm của đường thẳng này với $SC$ là $K$.

Xét tam giác $SAC$, ta có $OK // SA$, $O$ là trung điểm của $AC$ nên $K$ là trung điểm của $SC$ (tính chất đường trung bình của tam giác). Suy ra $SK = KC$.

Vậy $SK = 1.KC$, suy ra $m = 1$.

Câu 19:

PHẦN II. TỰ LUẬN

Một vòng quay Mặt Trời quay quanh trục mỗi vòng hết 15 phút. Khi vòng quay quay đều, khoảng cách \[h\,{\rm{(m)}}\] từ một cabin $M$ trên vòng quay đến mặt đất được tính bởi công thức \[h\left( t \right) = a\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2}} \right) + b\], với \[t\] là thời gian quay của vòng quay tính bằng phút (\[t \ge 0\]). Biết rằng khi lên đến vị trí cao nhất cabin $M$ cách mặt đất $114,5$ m và khi xuống đến vị trí thấp nhất cabin $M$ cách mặt đất $0,5$ m.

a) Tìm \[a,{\rm{ }}b\]

b) Xác định thời điểm cabin $M$ đạt được chiều cao $86$ m trong vòng quay đầu tiên tính từ thời điểm \[t = 0\] (phút)

Lời giải:

Đáp án đúng:

Đây là một bài toán tự luận.

Để giải phần a:
* Giá trị lớn nhất của h(t) là 114.5 và giá trị nhỏ nhất là 0.5.
* h_max = a + b = 114.5
* h_min = -a + b = 0.5
* Giải hệ, ta được: 2b = 115, suy ra b = 57.5.
* a = 114.5 - 57.5 = 57.
* Vậy a = 57 và b = 57.5.

Để giải phần b:
* Giải phương trình: 86 = 57*sin((2*pi/15)*t - pi/2) + 57.5.
* Suy ra: 57*sin((2*pi/15)*t - pi/2) = 86 - 57.5 = 28.5.
* Vậy: sin((2*pi/15)*t - pi/2) = 28.5/57 = 1/2.
* (2*pi/15)*t - pi/2 = pi/6 + k*2pi hoặc (2*pi/15)*t - pi/2 = 5*pi/6 + k*2pi, với k là số nguyên.
* (2*pi/15)*t = 2*pi/3 + k*2pi hoặc (2*pi/15)*t = 4*pi/3 + k*2pi
* t = 5 + 15k hoặc t = 10 + 15k.
* Vì 0 <= t <= 15, ta có t = 5 hoặc t = 10.

Câu 20:

Hưởng ứng phong trào “Nuôi heo đất” của Đoàn trường THPT NHS, \[43\] học sinh lớp 11A của trường đã thực hiện kế hoạch “Nuôi heo đất” như sau: Ngày đầu tiên mỗi bạn nuôi heo \[2000\] đồng, từ ngày thứ hai trở đi mỗi bạn nuôi heo hơn ngày liền trước là \[200\] đồng. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì số tiền nuôi heo được là \[5\,658\,800\] đồng?

Lời giải:

Đáp án đúng:

Gọi $n$ là số ngày nuôi heo.
Số tiền mỗi bạn nuôi heo trong các ngày lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu $u_1 = 2000$ và công sai $d = 200$.
Tổng số tiền mỗi bạn nuôi heo sau $n$ ngày là:
$S_n = \frac{n}{2}[2u_1 + (n-1)d] = \frac{n}{2}[2(2000) + (n-1)200] = \frac{n}{2}(4000 + 200n - 200) = \frac{n}{2}(3800 + 200n) = 100n^2 + 1900n$.
Vì có 43 học sinh, nên tổng số tiền là $43(100n^2 + 1900n) = 4300n^2 + 81700n$.
Theo đề bài, tổng số tiền là 5,658,800 đồng, ta có phương trình:
$4300n^2 + 81700n = 5658800 \Leftrightarrow 4300n^2 + 81700n - 5658800 = 0$.
Chia cả hai vế cho 100, ta được:
$43n^2 + 817n - 56588 = 0$.
Giải phương trình bậc hai này, ta được hai nghiệm:
$n_1 = 26$ và $n_2 = -52.09$ (loại vì $n$ phải là số nguyên dương).
Vậy, sau 26 ngày thì số tiền nuôi heo được là 5,658,800 đồng.

Câu 21:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M,\,N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $CD$

a) Chứng minh $OM$ song song với mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$

b) Gọi $F$ là giao điểm của $SD$ và mặt phẳng $\left( {BMN} \right)$Tính tỉ số $\frac{{SF}}{{FD}}$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Câu hỏi này không phải là trắc nghiệm và yêu cầu chứng minh và tính toán.
a) Để chứng minh $OM$ song song với $(SCD)$, ta có thể sử dụng phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng bằng cách chỉ ra một đường thẳng trong mặt phẳng song song với đường thẳng cần chứng minh.
b) Để tính tỉ số $\frac{{SF}}{{FD}}$, ta cần xác định giao điểm $F$ và sử dụng các định lý về tỉ số đoạn thẳng trong hình học không gian.

Câu 1:

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Đổi số đo của góc $\frac{\pi }{{12}}{\rm{ rad}}$ sang đơn vị độ ta được góc có số đo bằng bao nhiêu?

Lời giải: