Câu hỏi:

Ta có:

• Tập xác định của hàm số $y = \tan x$ là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.$
• Hàm số $y = \tan x$ đồng biến trên các khoảng $\left( {\frac{{ - \pi }}{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)$, với mọi $k \in \mathbb{Z}.$
• Hàm số $y = \tan x$ là hàm số tuần hoàn với chu kỳ $\pi .$
• Tập giá trị của hàm số $y = \tan x$ là $\mathbb{R}$.

Vậy đáp án sai là D.

Ta có phương trình $\tan 3x = \tan x$. Điều kiện xác định là $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ và $3x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ hay $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}$.
Phương trình tương đương với:
$3x = x + k\pi \Leftrightarrow 2x = k\pi \Leftrightarrow x = \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Ta cần loại các nghiệm không thỏa mãn điều kiện xác định:
$\frac{k\pi}{2} \neq \frac{\pi}{2} + n\pi \Leftrightarrow k \neq 1 + 2n$ (loại $k$ lẻ).
$\frac{k\pi}{2} \neq \frac{\pi}{6} + \frac{n\pi}{3} \Leftrightarrow \frac{k}{2} \neq \frac{1}{6} + \frac{n}{3} \Leftrightarrow 3k \neq 1 + 2n$ (luôn đúng vì $3k$ chẵn và $1+2n$ lẻ).
Vậy $k$ phải chẵn, đặt $k=2m$ thì $x = \frac{2m\pi}{2} = m\pi$. Vậy nghiệm của phương trình là $x = m\pi, m \in \mathbb{Z}$.

Một dãy số được gọi là dãy số giảm nếu mỗi số hạng sau nhỏ hơn số hạng trước.

• Dãy A: $1; 1; 1; 1; 1$ là dãy số không đổi.
• Dãy B: $1; -\frac{1}{3}; \frac{1}{9}; -\frac{1}{27}; \frac{1}{81}$ không phải là dãy số giảm vì có các số hạng tăng và giảm xen kẽ.
• Dãy C: $1; 3; 5; 7; 9$ là dãy số tăng.
• Dãy D: $13; 11; 8; 7; 5$ là dãy số giảm vì mỗi số hạng sau đều nhỏ hơn số hạng trước.

Vậy đáp án đúng là D.

Một cấp số cộng là một dãy số trong đó sự khác biệt giữa hai số hạng liên tiếp là hằng số.

* Dãy $3; 3; 3; 3; 3; ...$ là một cấp số cộng với công sai $d = 0$.
* Dãy $0; 5; 10; 15; 20; 25$ là một cấp số cộng với công sai $d = 5$.
* Dãy $1; -1; 1; -1; 1; ...$ không phải là một cấp số cộng vì sự khác biệt giữa các số hạng liên tiếp không phải là hằng số ($(-1) - 1 = -2$ và $1 - (-1) = 2$).
* Dãy $1; 2; 3; 4; 5; 6$ là một cấp số cộng với công sai $d = 1$.

Vậy, đáp án là C.

Ta có công thức tổng quát của cấp số nhân: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$. Trong trường hợp này, ta có $u_1 = 81$ và $u_4 = 3$. Vậy, $u_4 = u_1 \cdot q^{4-1} \Rightarrow 3 = 81 \cdot q^3$. Suy ra $q^3 = \frac{3}{81} = \frac{1}{27}$. Do đó, $q = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3}$.