Câu hỏi:

Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $M,{\rm{ }}N$ lần lượt là trung điểm của $AC,{\rm{ }}CD.$ Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {MBD} \right)$ và $\left( {ABN} \right)$ là:

đường thẳng $MN.$

đường thẳng $AM.$

đường thẳng $BG{\rm{ }}(G$ là trọng tâm tam giác $ACD).$

đường thẳng $AH{\rm{ }}(H$ là trực tâm tam giác $ACD).$

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ACD$. Vì $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AC, CD$ nên $AN$ và $DM$ là các đường trung tuyến của tam giác $ACD$. Do đó $G$ là giao điểm của $AN$ và $DM$.
Ta có:

$G \in AN \subset (ABN)$
$G \in DM \subset (MBD)$

Vậy $G$ là điểm chung của $(ABN)$ và $(MBD)$.
Mặt khác, $B$ cũng là điểm chung của $(ABN)$ và $(MBD)$.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $(ABN)$ và $(MBD)$ là đường thẳng $BG$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Đề thi kiểm tra giữa học kì 1 môn Toán lớp 11 - KNTT - Đề 5

17/09/2025

0 lượt thi

0 / 21

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 13:

Cho phương trình \[\frac{{\cos 3x}}{{1 + \sin 3x}} = 0\].

(a) Điều kiện xác định của phương trình là: $\sin 3x \ne - 1$.

(b) Với điều kiện phương trình có nghĩa: \[\frac{{\cos 3x}}{{1 + \sin 3x}} = 0 \Leftrightarrow \cos 3x = 0\].

(c)$x = \frac{{5\pi }}{6}$là một nghiệm của phương trình.

(d) Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình có dạng $\frac{{a\pi }}{b}$ với $a,b \in \mathbb{N}\,;\,\,\left( {a,b} \right) = 1$. Khi đó ${a^2} + 2b = 12$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Câu hỏi này không đưa ra các lựa chọn để chọn đáp án đúng. Nó đưa ra các khẳng định (a), (b), (c), (d) và không yêu cầu chọn khẳng định nào đúng. Do đó, không thể xác định đáp án đúng theo dạng multiple choice thông thường.

Phân tích các khẳng định:

(a) Điều kiện $\sin 3x \ne -1$ là đúng để mẫu số khác 0.
(b) $\frac{{\cos 3x}}{{1 + \sin 3x}} = 0 \Leftrightarrow \cos 3x = 0$ cũng đúng khi mẫu khác 0.
(c) Nếu $x = \frac{{5\pi }}{6}$, thì $3x = \frac{{5\pi }}{2}$. Khi đó $\cos 3x = \cos \frac{{5\pi }}{2} = 0$ và $\sin 3x = \sin \frac{{5\pi }}{2} = 1$. Vậy $x = \frac{{5\pi }}{6}$ là nghiệm của phương trình.
(d) $\cos 3x = 0 \Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$. Nghiệm dương nhỏ nhất là $x = \frac{\pi }{6}$ (khi $k=0$). Vậy $a=1$, $b=6$. Suy ra $a^2 + 2b = 1^2 + 2(6) = 1 + 12 = 13 \ne 12$. Khẳng định (d) sai.

Câu 14:

Một ruộng bậc thang có thửa thấp nhất (bậc thứ nhất) nằm ở độ cao 950 m so với mực nước biển, độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là 1,5 m.

(a)Kí hiệu ${u_n}$là chiều cao so với mực nước biển của thửa ruộng ở bậc thứ $n$. Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$là một cấp số nhân.

(b) Số hạng đầu của dãy số là 950.

(d) Thửa ruộng ở bậc thứ 12 có độ cao là 966,5 m so với mực nước biển

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có:

$u_1 = 950$ là chiều cao của thửa ruộng bậc thứ nhất.
Độ chênh lệch giữa các thửa là 1.5m, nên đây là một cấp số cộng với công sai $d = 1.5$.

Xét từng đáp án:

(a) Sai, vì đây là cấp số cộng, không phải cấp số nhân.
(b) Đúng, số hạng đầu $u_1 = 950$.
(c) Sai, công sai $d = 1.5$, không phải $d = 15$.
(d) Sai, $u_{12} = u_1 + (12-1)d = 950 + 11(1.5) = 950 + 16.5 = 966.5$ (Đúng về mặt số học, nhưng đề yêu cầu xác định câu sai).

Vì đề bài yêu cầu xác định câu SAI, và câu (a) và (c) là sai, trong các đáp án, (b) là số hạng đầu là 950, là một phát biểu đúng. Tuy nhiên đề bài lại yêu cầu tìm câu sai. Như vậy, đáp án (b) là số hạng đầu của dãy số là 950 là câu đúng, các câu còn lại cần phải xét lại.
Ta thấy (a) sai vì là cấp số cộng. (c) sai vì công sai là 1.5. (d) $u_{12} = 950 + 11*1.5 = 966.5$. Vì câu hỏi có vấn đề nên chọn câu (b) là câu có vẻ đúng nhất.

Câu 15:

Cho $x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$thỏa mãn $\cos x = \frac{3}{5}$. Tính giá trị của $\tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có $\cos x = \frac{3}{5}$ và $x \in (0, \frac{\pi}{2})$, suy ra $\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$. Do đó, $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3}$. Ta có công thức $\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$. Vậy, $\tan\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan x + \tan \frac{\pi}{4}}{1 - \tan x \tan \frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{4}{3} + 1}{1 - \frac{4}{3} \cdot 1} = \frac{\frac{7}{3}}{-\frac{1}{3}} = -7$.

Câu 16:

Cho hàm số $f\left( x \right) = \cos 2x + 3\sin x + 3$. Gọi $m,M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $f\left( x \right)$ trên $\left[ {\frac{\pi }{6};\frac{{2\pi }}{3}} \right]$. Tính giá trị biểu thức $8M + m$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có: $f(x) = \cos 2x + 3\sin x + 3 = -2\sin^2 x + 3\sin x + 4$.

Đặt $t = \sin x$, với $x \in \left[ {\frac{\pi }{6};\frac{{2\pi }}{3}} \right]$ thì $t \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right]$.

Xét hàm số $g(t) = -2t^2 + 3t + 4$ trên $\left[ {\frac{1}{2};1} \right]$.

Ta có $g'(t) = -4t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{4}$.

$g(\frac{1}{2}) = -2(\frac{1}{4}) + 3(\frac{1}{2}) + 4 = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 4 = 5$.

$g(1) = -2 + 3 + 4 = 5$.

$g(\frac{3}{4}) = -2(\frac{9}{16}) + 3(\frac{3}{4}) + 4 = -\frac{9}{8} + \frac{9}{4} + 4 = \frac{-9 + 18 + 32}{8} = \frac{41}{8}$.

Suy ra $M = \max g(t) = \frac{41}{8}$, $m = \min g(t) = 5$.

Vậy $8M + m = 8.\frac{41}{8} + 5 = 41 + 5 = 46$ (Không có đáp án nào đúng trong các lựa chọn. Tuy nhiên giá trị $g(1/2)=5$ và $g(1) = 5$ nên min = 5. Max = $41/8$. Khi đó $8M + m = 41 + 5 = 46$, không nằm trong đáp án. Kiểm tra lại đề bài.)
Tuy nhiên nếu đề là $f(x) = cos(2x) + 3sin(x) + 5$ thì $f(x) = -2sin^2(x) + 3sin(x) + 6$
khi đó $g(t) = -2t^2 + 3t + 6$
$g(1/2) = -2(1/4) + 3/2 + 6 = -1/2 + 3/2 + 6 = 1 + 6 = 7$
$g(1) = -2 + 3 + 6 = 7$
$g(3/4) = -2(9/16) + 9/4 + 6 = -9/8 + 18/8 + 48/8 = 57/8 = 7.125$
Vậy $M = 57/8$ and $m = 7 = 56/8$
Then $8M + m = 57 + 7 = 64$, không nằm trong đáp án.
Nếu đề là $\left[ {\frac{\pi }{6};\frac{{\pi }}{2}} \right]$ thì $t \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right]$
thì $M = rac{41}{8}$, $m = 5$. Vậy $8M + m = 41 + 5 = 46$
Nếu đề là $\left[ {0;\frac{{\pi }}{2}} \right]$ thì $t \in \left[ {0;1} \right]$
khi đó $g(0) = 4$, $g(1) = 5$. Vậy $M = rac{41}{8}$, $m = 4$. Vậy $8M + m = 41 + 4 = 45$
Xét hàm số $g(t) = -2t^2 + 3t + 3$ trên $\left[ {\frac{1}{2};1} \right]$. thì $M = rac{33}{8}$, $m = 4$. Vậy $8M + m = 33 + 4 = 37$
Không hiểu sao không có đáp án đúng.

Câu 17:

Một người làm việc cho một công ty. Theo hợp đồng trong năm đầu tiên, tháng lương thứ nhất là 6 triệu đồng và lương tháng sau cao hơn tháng trước là 200 ngàn đồng. Hỏi theo hợp đồng, tháng thứ 7 người đó nhận được lương là bao nhiêu triệu đồng?

Lời giải:

Đáp án đúng:

Đây là một bài toán về cấp số cộng.

* Số hạng đầu u1 = 6 (triệu đồng)
* Công sai d = 0.2 (triệu đồng)

Số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức: un = u1 + (n-1)d.

Vậy, tháng thứ 7 người đó nhận được:
u7 = 6 + (7-1) * 0.2 = 6 + 6 * 0.2 = 6 + 1.2 = 7.2 (triệu đồng).

Câu 18:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của cạnh $BC,CD,SA$. Với $I$ là giao điểm của mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ và đường thẳng $SO$, hãy tính tỷ lệ $\frac{{SI}}{{IO}}$

Lời giải: