Câu hỏi:

Ta có $\cos x = \frac{3}{5}$ và $x \in (0, \frac{\pi}{2})$, suy ra $\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$. Do đó, $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3}$. Ta có công thức $\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$. Vậy, $\tan\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan x + \tan \frac{\pi}{4}}{1 - \tan x \tan \frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{4}{3} + 1}{1 - \frac{4}{3} \cdot 1} = \frac{\frac{7}{3}}{-\frac{1}{3}} = -7$.

Ta có: $f(x) = \cos 2x + 3\sin x + 3 = -2\sin^2 x + 3\sin x + 4$.

Đặt $t = \sin x$, với $x \in \left[ {\frac{\pi }{6};\frac{{2\pi }}{3}} \right]$ thì $t \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right]$.

Xét hàm số $g(t) = -2t^2 + 3t + 4$ trên $\left[ {\frac{1}{2};1} \right]$.

Ta có $g'(t) = -4t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{4}$.

$g(\frac{1}{2}) = -2(\frac{1}{4}) + 3(\frac{1}{2}) + 4 = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 4 = 5$.

$g(1) = -2 + 3 + 4 = 5$.

$g(\frac{3}{4}) = -2(\frac{9}{16}) + 3(\frac{3}{4}) + 4 = -\frac{9}{8} + \frac{9}{4} + 4 = \frac{-9 + 18 + 32}{8} = \frac{41}{8}$.

Suy ra $M = \max g(t) = \frac{41}{8}$, $m = \min g(t) = 5$.

Vậy $8M + m = 8.\frac{41}{8} + 5 = 41 + 5 = 46$ (Không có đáp án nào đúng trong các lựa chọn. Tuy nhiên giá trị $g(1/2)=5$ và $g(1) = 5$ nên min = 5. Max = $41/8$. Khi đó $8M + m = 41 + 5 = 46$, không nằm trong đáp án. Kiểm tra lại đề bài.)
Tuy nhiên nếu đề là $f(x) = cos(2x) + 3sin(x) + 5$ thì $f(x) = -2sin^2(x) + 3sin(x) + 6$
khi đó $g(t) = -2t^2 + 3t + 6$
$g(1/2) = -2(1/4) + 3/2 + 6 = -1/2 + 3/2 + 6 = 1 + 6 = 7$
$g(1) = -2 + 3 + 6 = 7$
$g(3/4) = -2(9/16) + 9/4 + 6 = -9/8 + 18/8 + 48/8 = 57/8 = 7.125$
Vậy $M = 57/8$ and $m = 7 = 56/8$
Then $8M + m = 57 + 7 = 64$, không nằm trong đáp án.
Nếu đề là $\left[ {\frac{\pi }{6};\frac{{\pi }}{2}} \right]$ thì $t \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right]$
thì $M = rac{41}{8}$, $m = 5$. Vậy $8M + m = 41 + 5 = 46$
Nếu đề là $\left[ {0;\frac{{\pi }}{2}} \right]$ thì $t \in \left[ {0;1} \right]$
khi đó $g(0) = 4$, $g(1) = 5$. Vậy $M = rac{41}{8}$, $m = 4$. Vậy $8M + m = 41 + 4 = 45$
Xét hàm số $g(t) = -2t^2 + 3t + 3$ trên $\left[ {\frac{1}{2};1} \right]$. thì $M = rac{33}{8}$, $m = 4$. Vậy $8M + m = 33 + 4 = 37$
Không hiểu sao không có đáp án đúng.

Đây là một bài toán về cấp số cộng.

* Số hạng đầu u1 = 6 (triệu đồng)
* Công sai d = 0.2 (triệu đồng)

Số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức: un = u1 + (n-1)d.

Vậy, tháng thứ 7 người đó nhận được:
u7 = 6 + (7-1) * 0.2 = 6 + 6 * 0.2 = 6 + 1.2 = 7.2 (triệu đồng).

Gọi $E$ là giao điểm của $MN$ và $AC$.
Ta có $MN // BD$ (do $MN$ là đường trung bình của tam giác $BCD$)

Trong mặt phẳng $(SAC)$, gọi $I = PE \cap SO$.
Xét tam giác $SAC$, ta có $\frac{SI}{SO} = \frac{SA}{SA + 2OE} = \frac{1}{1 + 2\frac{OE}{SA}}$
Vì $MN // BD$ nên $\frac{CE}{CA} = \frac{CM}{CB} = \frac{1}{2} \Rightarrow OE = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{4}AC$
$SA = 2AP$
Ta có $\frac{SI}{SO} = \frac{AP}{AO + AP} = \frac{1}{3}$.

Suy ra $\frac{SI}{IO} = \frac{1}{2}$

Phương trình dao động điều hòa của vật là $x = 2\cos(5t - \frac{\pi}{6})$.


Vật đi qua vị trí cân bằng khi $x = 0$.


$2\cos(5t - \frac{\pi}{6}) = 0$


$\Rightarrow 5t - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi$, với $k$ là số nguyên.


$\Rightarrow 5t = \frac{2\pi}{3} + k\pi$


$\Rightarrow t = \frac{2\pi}{15} + \frac{k\pi}{5} = \frac{(2 + 3k)\pi}{15}$


Trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, ta có $0 \le t \le 6$.


$0 \le \frac{(2 + 3k)\pi}{15} \le 6$


$0 \le 2 + 3k \le \frac{90}{\pi} \approx 28.65$


$-2 \le 3k \le 26.65$


$-\frac{2}{3} \le k \le 8.88$


Vì $k$ là số nguyên, nên $k$ có thể nhận các giá trị $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$.


Vậy có 9 lần vật đi qua vị trí cân bằng khi đi theo chiều dương. Tuy nhiên, mỗi chu kỳ vật đi qua vị trí cân bằng 2 lần. Ta cần xét số chu kỳ vật thực hiện được trong 6 giây.


Chu kỳ $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{5}$.


Số chu kỳ là $n = \frac{6}{T} = \frac{6}{\frac{2\pi}{5}} = \frac{30}{2\pi} = \frac{15}{\pi} \approx 4.77$.


Vậy vật thực hiện gần 5 chu kỳ dao động. Mỗi chu kỳ đi qua vị trí cân bằng 2 lần nên số lần vật đi qua vị trí cân bằng là $2 \times 4.77 \approx 9.54$. Vì số lần đi qua phải là số nguyên, ta cần tính toán chính xác hơn.


Ta có $t = \frac{(2 + 3k)\pi}{15}$. Vì vậy, giữa hai lần liên tiếp vật đi qua vị trí cân bằng, thời gian là $\frac{3\pi}{15} = \frac{\pi}{5} \approx 0.628 s$.


Số lần vật qua vị trí cân bằng là số nghiệm nguyên của $k$ thỏa mãn $0 < t < 6$.
$t = \frac{(2+3k)\pi}{15} < 6$ $\Rightarrow k < \frac{90}{3\pi} - \frac{2}{3} \approx 8.88$ nên $k \le 8$.
$t = \frac{(2+3k)\pi}{15} > 0$ $\Rightarrow k > -\frac{2}{3}$.
$k$ có thể nhận các giá trị $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$.

Vậy vật đi qua vị trí cân bằng 2 lần trong mỗi chu kỳ, với số chu kỳ là $\lfloor\frac{6}{T}\rfloor = 4$ chu kỳ, nên đi qua $2 \times 4 = 8$ lần, và trong khoảng thời gian lẻ còn lại, vật đi qua vị trí cân bằng khoảng 1 lần (khi đi qua vị trí cân bằng lần đầu). Do đó, vật đi qua khoảng 9 lần.
Ta thấy rằng với mỗi giá trị của k, ta tính được một thời điểm vật đi qua vị trí cân bằng. Vì vậy, có 9 giá trị của k, nên có 9 lần vật đi qua vị trí cân bằng theo một chiều. Do đó, số lần đi qua là $2 \times 9 = 18$ lần và có vẻ đáp án gần nhất là 20.