Bài toán hình học không gian về giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Câu 28:

Cho ba mặt phẳng phân biệt $\left( \alpha \right),\left( \beta \right),\left( \gamma \right)$ có $\left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = a$, $\left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right) = b$, $\left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right) = c$. Khi đó ba đường thẳng \[a,b,c\] sẽ

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Xét ba mặt phẳng phân biệt $(\alpha)$, $(\beta)$, $(\gamma)$ có $(\alpha) \cap (\beta) = a$, $(\beta) \cap (\gamma) = b$, $(\alpha) \cap (\gamma) = c$.

Nếu $a$, $b$, $c$ đôi một song song thì $(\alpha) // (\beta) // (\gamma)$, điều này mâu thuẫn với giả thiết ba mặt phẳng phân biệt.
Nếu $a$, $b$, $c$ đồng quy tại một điểm $I$, thì $I \in (\alpha)$, $I \in (\beta)$, $I \in (\gamma)$. Do đó $I$ là giao điểm của ba mặt phẳng.
Nếu $a // b$, thì vì $a \subset (\alpha)$ và $b \subset (\gamma)$ nên $(\alpha) // (\gamma)$. Mà $(\alpha) \cap (\gamma) = c$ nên $c // a // b$.

Vậy ba đường thẳng $a, b, c$ đôi một song song hoặc đồng quy.

Câu 29:

Trong không gian, cho ba đường thẳng $a,b,c$ biết $a\,{\rm{//}}\,b$ và $a$, $c$ chéo nhau. Khi đó hai đường thẳng $b$ và $c$ sẽ

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có $a // b$ và $a$ và $c$ chéo nhau.

Vì $a // b$ nên $a$ và $b$ đồng phẳng.

$a$ và $c$ chéo nhau nên không đồng phẳng.

Suy ra $b$ và $c$ không thể song song hoặc trùng nhau (vì nếu song song hoặc trùng nhau thì cùng nằm trên một mặt phẳng, mà $b$ đã nằm trên mặt phẳng có $a$ nên $c$ phải nằm trên mặt phẳng đó, trái với giả thiết).

Vậy $b$ và $c$ hoặc cắt nhau, hoặc chéo nhau.

Câu 30:

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I,J$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC$ và $ABD$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$.

$I$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $CI = \frac{2}{3}CM$.

$J$ là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $DJ = \frac{2}{3}DM$.

Xét tam giác $CDM$ có $\frac{CI}{CM} = \frac{DJ}{DM} = \frac{2}{3}$.

Theo định lý Thales đảo, suy ra $IJ \parallel CD$.

Câu 31:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, đáy lớn là \[CD\]. Gọi \[M\] là trung điểm của \[SA\], \[N\] là giao điểm của cạnh \[SB\] và mặt phẳng \[\left( {MCD} \right)\]. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Gọi $O$ là giao điểm của $AM$ và $CD$. Vì $M\in (MCD)$ nên $O \in (MCD)$.

Khi đó $(MCD)$ chính là $(OCD)$.

Trong $(SBC)$, gọi $N$ là giao điểm của $SB$ và $OC$.

Vì $OC \in (MCD)$ nên $N$ là giao điểm của $SB$ và $(MCD)$.

Trong $(SAC)$, $OC$ cắt $SB$ tại $N$, $OC$ cắt $SC$ tại một điểm. Do đó loại C và D.

Vì $ABCD$ là hình thang đáy lớn $CD$ nên $AB$ không song song $CD$, suy ra $OC$ cắt $AB$ tại một điểm, vậy $MN$ và $CD$ không song song, nên loại B. Suy ra A đúng.

Câu 32:

Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Nếu mặt phẳng $\left( \beta \right)$ chứa $a$ và cắt $\left( \alpha \right)$ theo giao tuyến $b$ thì $b$ và $a$ là hai đường thẳng

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Vì $a$ song song với $(\alpha)$ và $a$ nằm trong $(\beta)$, mà $(\beta)$ cắt $(\alpha)$ theo giao tuyến $b$, nên $a$ và $b$ song song với nhau.

Nếu $a$ và $b$ cắt nhau thì $a$ cắt $(\alpha)$ điều này trái với giả thiết.

Câu 33:

Cho các giả thiết sau. Giả thiết nào kết luận đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$?

Lời giải: