Câu hỏi:

Phương trình dao động điều hòa: $x = 3\cos \left( {4\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right)$.

Vật đi qua vị trí cân bằng khi $x = 0$, tức là:

$3\cos \left( {4\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0 \Rightarrow 4\pi t - \frac{{2\pi }}{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi$, với $k$ là số nguyên.

$\Rightarrow 4t = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + k = \frac{7}{6} + k \Rightarrow t = \frac{7}{24} + \frac{k}{4}$.

Xét $0 < t < 5$, ta có:

$0 < \frac{7}{24} + \frac{k}{4} < 5 \Rightarrow -\frac{7}{24} < \frac{k}{4} < 5 - \frac{7}{24} = \frac{113}{24} \Rightarrow -\frac{7}{6} < k < \frac{113}{6} \approx 18.83$.

Vì $k$ là số nguyên, nên $k$ có thể nhận các giá trị từ -1 đến 18. Tổng cộng có 20 giá trị.

Vậy, trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 20 lần. Tuy nhiên, cần kiểm tra lại thời điểm ban đầu:

Tại $t=0$, $x = 3cos(-\frac{2\pi}{3}) = 3(-\frac{1}{2})=-\frac{3}{2}$ (chưa qua vị trí cân bằng).

Xét các nghiệm:

$t = \frac{7}{24} + \frac{k}{4}$

$k = -1 => t = \frac{7}{24} - \frac{1}{4} = \frac{1}{24} > 0 $

$k = 0 => t = \frac{7}{24} $

$k = 18 => t = \frac{7}{24} + \frac{18}{4} = \frac{7}{24} + \frac{108}{24} = \frac{115}{24} < 5$

Vậy, số lần vật đi qua vị trí cân bằng là 20.

Gọi $l$ là độ dài cung tròn, $r$ là bán kính của đường tròn, và $\alpha$ là số đo góc ở tâm chắn cung đó (tính bằng radian). Ta có công thức $l = r\alpha$.
Theo đề bài, độ dài cung tròn bằng bán kính, tức là $l = r$.
Thay vào công thức, ta có $r = r\alpha$.
Suy ra $\alpha = 1$ radian.

Góc lượng giác có số đo $-90^\circ$ là góc quay theo chiều âm (chiều kim đồng hồ) một góc vuông. Trong hình vẽ, góc $(OA, OB')$ là góc quay theo chiều dương $90^\circ$, và $(OA, OB)$ là góc quay theo chiều âm $90^\circ$. Do đó, $(OA, OB')$ có số đo là $-90^\circ$.

Vậy đáp án là C.

Góc phần tư thứ II có $90^o < \alpha < 180^o$.

• $\sin \alpha > 0$ nên $\sqrt{{\sin}^2 \alpha} = |\sin \alpha | = \sin \alpha$


• $\cos \alpha < 0$ nên $\sqrt{{\cos}^2 \alpha} = |\cos \alpha | = -\cos \alpha$


• $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} < 0$


• $\left| {\sin \alpha } \right| = {\sin}\alpha $

Ta có:
$\cos \left( {\frac{{9\pi }}{2} - \alpha } \right) = \cos \left( {4\pi + \frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha $
$\sin \left( {\alpha - \pi } \right) = - \sin \left( {\pi - \alpha } \right) = - \sin \alpha $
Vậy $A = \sin \alpha - \sin \alpha = 0$.