Câu hỏi:

Gọi $A(0; \frac{a\sqrt{3}}{2})$, $B(-\frac{a}{2};0)$, $C(\frac{a}{2};0)$.
Khi đó $N(-\frac{a}{6};0)$, $M(\frac{a}{6}; \frac{a\sqrt{3}}{3})$, $P(x_P; y_P)$.
Ta có $\overrightarrow{AN} = (-\frac{a}{6}; -\frac{a\sqrt{3}}{2})$ và $\overrightarrow{PM} = (\frac{a}{6} - x_P; \frac{a\sqrt{3}}{3} - y_P)$.
Đường thẳng $AB$ có phương trình $y = \sqrt{3}(x + \frac{a}{2})$. Vì $P \in AB$ và $AP = x$ nên $x_P = \frac{ax - a^2}{2a}$, $y_P = \frac{\sqrt{3}(a^2 - ax)}{2a}$.
Khi đó $\overrightarrow{PM} = (\frac{a}{6} - \frac{ax - a^2}{2a}; \frac{a\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}(a^2 - ax)}{2a}) = (\frac{a^2 - 3ax + a}{6a}; \frac{\sqrt{3}(-a^2 + 3ax)}{6a})$.
Để $AN \perp PM$ thì $\overrightarrow{AN}. \overrightarrow{PM} = 0$
$\Leftrightarrow (-\frac{a}{6})(\frac{a^2 - 3ax + a}{6a}) + (-\frac{a\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}(-a^2 + 3ax)}{6a}) = 0$
$\Leftrightarrow -\frac{a^2 - 3ax + a}{36} + \frac{3a^2 - 9ax}{12} = 0$
$\Leftrightarrow -a^2 + 3ax - a + 9a^2 - 27ax = 0$
$\Leftrightarrow 8a^2 - 24ax - a = 0$
$\Leftrightarrow 8a - 24x - 1 = 0$
$\Leftrightarrow x = \frac{8a - 1}{24}$
Kiểm tra lại đề bài, ta có tọa độ điểm P sai, $P(x_p,y_p) = (\frac{a-2x}{2}, \frac{\sqrt{3}*(2x)}{2}) $
$\vec{PM} = (\frac{a}{6}-\frac{a-2x}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}(2x)}{2}) = (\frac{-a+6x}{6}, \frac{2a\sqrt{3}-6x\sqrt{3}}{6}) $
$\vec{AN}.\vec{PM} = \frac{a(-a+6x)}{36} + \frac{-a\sqrt{3}(2a\sqrt{3}-6x\sqrt{3})}{12} = 0 $
$\Leftrightarrow -a^2+6ax + -3(2a^2-6ax) = 0 $
$\Leftrightarrow -a^2+6ax - 6a^2+18ax = 0 $
$\Leftrightarrow -7a^2+24ax = 0 $
$\Leftrightarrow 24x = 7a $
$\Leftrightarrow x = \frac{7a}{24}$
Do không có đáp án nào phù hợp, xem lại đề thấy CM = 2a/3 là sai, phải là a/3. Nếu CM = a/3 thì BM = 2a/3.
Khi đó nếu giải lại thì ra x = 2a/3