Câu hỏi:

Cho tam giác $ABC$ ở trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và phương $l$. Biết hình chiếu (theo phương $l$) của tam giác $ABC$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$ là một đoạn thẳng. Khẳng định nào sau đây đúng?

$\left( \alpha \right){\text{//}}\left( P \right)$.

$\left( \alpha \right) \equiv \left( P \right)$.

$\left( \alpha \right){\text{//}}\,l$ hoặc $l \subset \left( \alpha \right)$.

Cả A, B, C đều sai.

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Vì hình chiếu của tam giác $ABC$ lên mặt phẳng $(P)$ là một đoạn thẳng, điều này xảy ra khi và chỉ khi mặt phẳng $(\alpha)$ chứa tam giác $ABC$ song song với phương chiếu $l$ hoặc $l$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$.
Vậy $(\alpha){\text{\/\/}}\,l$ hoặc $l \subset (\alpha)$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Đề thi kiểm tra cuối học kì 1 môn Toán lớp 11 - KNTT - Đề 1

17/09/2025

0 lượt thi

0 / 39

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 36:

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_1} = 12;\frac{{{u_3}}}{{{u_8}}} = 243$. Tìm ${u_9}$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có $\frac{u_3}{u_8} = \frac{u_1q^2}{u_1q^7} = \frac{1}{q^5} = 243$.

Suy ra $q^5 = \frac{1}{243} = \left(\frac{1}{3}\right)^5$, do đó $q = \frac{1}{3}$.

Vậy $u_9 = u_1q^8 = 12 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^8 = 12 \cdot \frac{1}{6561} = \frac{4}{2187}$. Kiểm tra lại đề bài và các đáp án. Có vẻ như có sự nhầm lẫn trong đáp án. Tuy nhiên, nếu ta xét $\frac{u_3}{u_6}=27$ thì $q = \frac{1}{3}$. Khi đó $u_9 = u_1q^8 = 12(\frac{1}{3})^8 = 12(\frac{1}{6561}) = \frac{4}{2187}$. Tuy nhiên đề gốc là $\frac{u_3}{u_8}$. Để đáp án ra số đẹp, ta giả sử đề đúng là $\frac{u_3}{u_6} = 27$.

Nếu $\frac{u_3}{u_6}=27$ thì $\frac{u_1q^2}{u_1q^5} = \frac{1}{q^3} = 27$ hay $q^3 = \frac{1}{27}$ suy ra $q=\frac{1}{3}$.

Khi đó $u_9 = u_1q^8 = 12(\frac{1}{3})^8 = \frac{12}{6561} = \frac{4}{2187}$. Không có đáp án nào đúng.
Giả sử $\frac{u_3}{u_7} = 81$ thì $\frac{u_1q^2}{u_1q^6} = \frac{1}{q^4} = 81$ hay $q = \frac{1}{3}$. Suy ra $u_9 = u_1q^8 = 12 \cdot (\frac{1}{3})^8 = \frac{4}{2187}$
Nếu $\frac{u_3}{u_8} = 243$ thì $q^5 = \frac{1}{243}$. Suy ra $q = \frac{1}{3}$.

$u_9 = u_1q^8 = 12(\frac{1}{3})^8 = \frac{12}{6561} = \frac{4}{2187}$

Câu 37:

Tính giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2\sqrt {x + 3} + x - 5}}{{x - {x^2}}}$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2\sqrt {x + 3} + x - 5}}{{x - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2\sqrt {x + 3} + x - 5}}{{x(1 - x)}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2\sqrt {x + 3} - 4 + x - 1}}{{x(1 - x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2(\sqrt {x + 3} - 2) + (x - 1)}}{{x(1 - x)}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{{2(x + 3 - 4)}}{{\sqrt {x + 3} + 2}} + (x - 1)}}{{x(1 - x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{{2(x - 1)}}{{\sqrt {x + 3} + 2}} + (x - 1)}}{{x(1 - x)}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x - 1)(\frac{2}{{\sqrt {x + 3} + 2}} + 1)}}{{x(1 - x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{2}{{\sqrt {x + 3} + 2}} + 1}}{{ - x}}$

$= \frac{{\frac{2}{{\sqrt {1 + 3} + 2}} + 1}}{{ - 1}} = \frac{{\frac{2}{{2 + 2}} + 1}}{{ - 1}} = - \frac{{\frac{1}{2} + 1}}{1} = - \frac{3}{2}$.

Câu 38:

Cho tứ diện \[ABCD\] có \[G\] là trọng tâm của tam giác \[BCD\]. Gọi \[\left( P \right)\] là mặt phẳng qua \[G\] song song với \[AB\,\] và $CD$.

a) Tìm giao tuyến của \[\left( P \right)\] và \[\left( {BCD} \right)\].

b) Chứng minh thiết diện của tứ diện \[ABCD\] cắt bởi \[\left( P \right)\] là hình bình hành

Lời giải:

Đáp án đúng:

Đây không phải là một câu hỏi trắc nghiệm mà là một bài toán chứng minh hình học. Do đó, không có các lựa chọn và câu trả lời cụ thể. Phần a) yêu cầu tìm giao tuyến của mặt phẳng $(P)$ và $(BCD)$, và phần b) yêu cầu chứng minh một tính chất hình học.

Câu 39:

Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác $ABC$ được gọi là tam giác trung bình của tam giác $ABC$. Ta xây dựng dãy các tam giác ${A_1}{B_1}{C_1};{A_2}{B_2}{C_2};{A_3}{B_3}{C_3};...$ sao cho ${A_1}{B_1}{C_1}$ là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương $n \geqslant 2$, tam giác ${A_n}{B_n}{C_n}$ là tam giác trung bình của tam giác ${A_{n - 1}}{B_{n - 1}}{C_{n - 1}}$. Với mỗi số nguyên dương $n$, kí hiệu ${S_n}$ tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác ${A_n}{B_n}{C_n}$. Tính tổng $S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...$.

Lời giải:

Đáp án đúng:

Câu hỏi này không cung cấp các lựa chọn đáp án. Để giải quyết bài toán này, ta cần tìm công thức tính diện tích hình tròn ngoại tiếp của tam giác đều, sau đó tìm quy luật của dãy diện tích và tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Diện tích tam giác đều $A_1B_1C_1$ là $S_{tg} = \frac{3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $A_1B_1C_1$ là $R_1 = \frac{3}{2sin(60^\circ)} = \frac{3}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.
Diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác $A_1B_1C_1$ là $S_1 = \pi R_1^2 = \pi (\sqrt{3})^2 = 3\pi$.

Vì tam giác $A_nB_nC_n$ là tam giác trung bình của tam giác $A_{n-1}B_{n-1}C_{n-1}$ nên cạnh của tam giác $A_nB_nC_n$ bằng một nửa cạnh của tam giác $A_{n-1}B_{n-1}C_{n-1}$. Do đó, $R_n = \frac{1}{2} R_{n-1}$. Vậy $R_n = R_1 (\frac{1}{2})^{n-1} = \sqrt{3} (\frac{1}{2})^{n-1}$.
$S_n = \pi R_n^2 = \pi (\sqrt{3} (\frac{1}{2})^{n-1})^2 = 3\pi (\frac{1}{4})^{n-1}$.

$S = S_1 + S_2 + ... = \sum_{n=1}^{\infty} S_n = \sum_{n=1}^{\infty} 3\pi (\frac{1}{4})^{n-1} = 3\pi \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{4})^{n-1}$.
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1 = 1$ và $q = \frac{1}{4}$.
Tổng là $\frac{u_1}{1-q} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$.
Vậy $S = 3\pi \cdot \frac{4}{3} = 4\pi$.

Câu 1:

Trên đường tròn lượng giác, gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm biểu diễn cho góc lượng giác có số đo $\alpha $. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Trên đường tròn lượng giác, với điểm $M(x_0; y_0)$ biểu diễn góc $\alpha$, ta có:

$x_0 = \cos \alpha$

$y_0 = \sin \alpha$

Vậy, $\sin \alpha = y_0$ là mệnh đề đúng.

Câu 2:

Hàm số nào sau đây là hàm số tuần hoàn với chu kì $\pi $

Lời giải: