Câu hỏi:

• Đáp án A sai vì $n(n+1)(n+2)$ là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3, do đó chia hết cho 6 và là số chẵn.


• Đáp án B đúng vì ${x^2} < 4 \Leftrightarrow |x| < 2 \Leftrightarrow -2 < x < 2$


• Đáp án C sai vì với mọi $n \in \mathbb{N}$, ${n^2}$ chia 3 dư 0 hoặc 1, do đó ${n^2} + 1$ chia 3 dư 1 hoặc 2, không chia hết cho 3.


• Đáp án D sai vì ${x^2} \ge 9 \Leftrightarrow |x| \ge 3 \Leftrightarrow x \ge 3$ hoặc $x \le -3$.

Ta thấy điểm $O(0 ; 0)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình và $(0 ; 3) \in d: 3 x-2 y=-6$. Chọn C.

Ta có:

• $A = \cos 10^{\circ} + \cos 20^{\circ} + ... + \cos 170^{\circ} + \cos 180^{\circ}$


• $A = (\cos 10^{\circ} + \cos 170^{\circ}) + (\cos 20^{\circ} + \cos 160^{\circ}) + ... + (\cos 80^{\circ} + \cos 100^{\circ}) + (\cos 90^{\circ}) + \cos 180^{\circ}$

Sử dụng công thức $\cos(180^{\circ} - x) = -\cos(x)$, ta có:

• $\cos 170^{\circ} = \cos (180^{\circ} - 10^{\circ}) = -\cos 10^{\circ}$


• $\cos 160^{\circ} = \cos (180^{\circ} - 20^{\circ}) = -\cos 20^{\circ}$


• ...


• $\cos 100^{\circ} = \cos (180^{\circ} - 80^{\circ}) = -\cos 80^{\circ}$

Do đó:

• $A = (\cos 10^{\circ} - \cos 10^{\circ}) + (\cos 20^{\circ} - \cos 20^{\circ}) + ... + (\cos 80^{\circ} - \cos 80^{\circ}) + 0 + \cos 180^{\circ}$


• $A = 0 + 0 + ... + 0 + 0 + (-1)$


• $A = -1$

a) Đúng. Mệnh đề đảo của mệnh đề " $P \Rightarrow Q$ " là mệnh đề " $Q \Rightarrow P$ " và được phát biểu là: "Nếu $A B C D$ là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác $A B C D$ là hình vuông".

b) Sai. Hai mệnh đề $P$ và $Q$ tương đương với nhau.

c) Sai. Mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ là mệnh đề đúng.

d) Đúng. Vì $P$ và $Q$ tương đương nên $P$ là điều kiện cần và đủ để có $Q$.

Ta có $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ và $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ nên $\cos \alpha < 0$.

Sử dụng công thức $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, ta có:

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

Vì $\cos \alpha < 0$, nên $\cos \alpha = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Vậy đáp án đúng là b).

Kiểm tra các đáp án khác:

a) $\sin \alpha > 0$ và $\cos \alpha < 0$ nên $\sin \alpha \cdot \cos \alpha < 0$. Vậy a) đúng.

c) $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4} \neq \frac{\sqrt{2}}{4}$. Vậy c) sai.

d) $\tan \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{4}$ và $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = -\frac{4}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}$.

$\frac{{6\sin \alpha + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}{{2\sqrt 2 \tan \alpha + \sqrt 2 \cot \alpha }} = \frac{{6\left( {\frac{1}{3}} \right) + 3\sqrt 2 \left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)}}{{2\sqrt 2 \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right) + \sqrt 2 \left( { - 2\sqrt 2 } \right)}} = \frac{{2 - 4}}{{ - 1 - 4}} = \frac{{ - 2}}{{ - 5}} = \frac{2}{5}$. Vậy d) đúng.