Câu hỏi:

Vì \({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha  + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  = 1\)

\( \Rightarrow {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha  = 1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  = 1 - {( - \frac{3}{4})^2} = \frac{7}{{16}}\) .

Mà \({0^ \circ } < \alpha  < {90^ \circ }\) nên \({\rm{sin}}\alpha  > 0\) .

Do đó \({\rm{sin}}\alpha  = \sqrt {\frac{7}{{16}}}  = \frac{{\sqrt 7 }}{4}\) .

\({\rm{tan}}\alpha  = \frac{{{\rm{sin}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} = \frac{{\frac{{\sqrt 7 }}{4}}}{{ - \frac{3}{4}}} =  - \frac{{\sqrt 7 }}{3}\) ;

\({\rm{cot}}\alpha  = \frac{{{\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{sin}}\alpha }} =  - \frac{{3\sqrt 7 }}{7}\) .

Ta có \(\left( {{x^2} + 7x + 6} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{{x^2} + 7x + 6 = 0}\\{}&{{x^2} - 4 = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{x =  - 1}\\{}&{x =  - 6}\\{}&{x =  - 2}\\{}&{x = 2}\end{array}} \right.\)

Vậy \(A = \left\{ { - 6; - 2; - 1;2} \right\}\)

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{x \in \mathbb{N}}\\{}&{2x \le 8}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{x \in \mathbb{N}}\\{}&{x \le 4}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow x \in \left\{ {0,1,2,3,4} \right\}\) .

Vậy \(B = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\) .

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{x \in \mathbb{Z}}\\{}&{ - 2 \le x \le 4}\end{array} \Leftrightarrow x \in \left\{ { - 2, - 1,0,1,2,3,4} \right\}} \right.\) .

Suy ra \(C = \left\{ { - 3; - 1;1;3;5;7;9} \right\}\) .

Ta có: \(A \cup B = \left\{ { - 6; - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\},\)

\(A \cap B = \left\{ 2 \right\}\) ,

\(A \cup C = \left\{ { - 6; - 3; - 2; - 1;1;2;3;5;7;9} \right\}\) .

Gọi x , y tương ứng là khối lượng bánh quy và số ly trà sữa tiêu thụ trong một tuần của một người, \(x \ge 0\) , \(y \ge 0\) .

Lượng đường dung nạp từ số lượng bánh quy và trà sữa trên là: \(F\left( {x;y} \right) = 150x + 55y\) .

Để đảm bảo sức khỏe theo tiêu chuẩn, ta cần:

    \(F\left( {x;y} \right) \le 50.7 = 350\)

    \( \Leftrightarrow 150x + 55y \le 350\)

Một người ăn uống trong một tuần \(0,4\) kilogam bánh quy và 5 ly trà sữa thì \(F\left( {0,4;5} \right) = 335 < 350\) .

Do đó không vượt qua ngưỡng tiêu thụ đường tiêu chuẩn. 

\(\widehat {ACB} = {120^ \circ }\) ; \(\widehat {ABC} = {30^ \circ } \Rightarrow \widehat {BAC} = {30^ \circ }\) .

Nên \({\rm{\Delta }}ABC\) cân tại \(C \Rightarrow AC = BC = 100\)

Trong tam giác vuông AHC :

\({\rm{sin}}\widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{AC}}\)

\( \Leftrightarrow AH = AC.{\rm{sin}}{30^ \circ } = 50\) m.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ như sau:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC kể cả biên (phần tô màu) với \(A\left( { - 2;6} \right),\,C\left( {\frac{4}{3}; - \frac{2}{3}} \right),\,B\left( {\frac{{ - 1}}{3};\frac{{ - 7}}{3}} \right)\)

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = y - x\) chỉ đạt được tại các điểm A ; B hoặc C .

Tính và so sánh: \(F\left( A \right) = 8;\,F\left( B \right) =  - 2;\,F\left( C \right) =  - 2\) .

Vậy \({\rm{min}}F =  - 2\) khi \(x = \frac{4}{3},\,y =  - \frac{2}{3}\) .