Câu hỏi:

Tổng quãng đường mà phương tiện di chuyển từ \(A\) qua \(C\) đến \(B\) là: \(70 + 100 = 170\,{\rm{km}}\).

Thể tích nhiên liệu bị tiêu hao là: \(170:20 = 8,5\) lít.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\):

\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC \cdot BC \cdot {\rm{cos}}60{^ \circ } = 7900 \Rightarrow AB = 10\sqrt {79} \,\,\,{\rm{(km)}}\).

Thể tích nhiên liệu bị tiêu hao là: \(10\sqrt {79} \,:20 = \frac{{\sqrt {79} }}{2} \approx 4,44\) lít.

Thể tích nhiên liệu tiết kiệm được: \(8,5 - 4,44 = 4,06\) lít.

Ta có

 \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AD} \), với D là đỉnh của hình vuông ABDC.

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{{\sqrt 2 }^2} + {{\sqrt 2 }^2}}  = 2.\)

 

Giả sử trong mỗi tháng cửa hàng cần làm \(x\) kệ sách và \(y\) bàn làm việc \(\left( {x,y \in \mathbb{N}} \right)\).

Từ giả thiết, ta được hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{5x + 10y \le 600}\\{4x + 3y \le 240}\end{array}} \right.\)

Mỗi tháng khi bán \(x\) kệ sách và \(y\) bàn làm việc lợi nhuận thu được là \(F\left( {x;y} \right) = 400x + 750y\) (nghìn đồng).

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của \(F\left( {x;y} \right)\) khi \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn hệ bất phương trình trên.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác \(OABC\) với tọa độ các đỉnh \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;60} \right),B\left( {24;48} \right),C\left( {60;0} \right)\)

Tính giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của tứ giác này

So sánh các giá trị thu được của \(F\) ta được giá trị lớn nhất cần tìm là \(F\left( {24;48} \right) = 45600.\)

Vậy trong mỗi tháng cửa hàng cần làm \(24\) kệ sách và \(48\) bàn làm việc để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

.

Gọi thời gian để 2 tàu gặp nhau tại \(C\) là \(t\) (giờ, \(t > 0\)).

Quãng đường \(BC\) là \(20t\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

Quãng đường \(AC\) là \(30t\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

Áp dụng định lí sin cho tam giác \(ABC\), ta có

\(\frac{{BC}}{{{\rm{sin}}\alpha }} = \frac{{AC}}{{{\rm{sin}}B}} \Leftrightarrow {\rm{sin}}\alpha  = \frac{{BC \cdot {\rm{sin}}B}}{{AC}} = \frac{{20t \cdot {\rm{sin}}124{^ \circ }}}{{30t}} \approx 0,5527 \Rightarrow \alpha  \approx 34{^ \circ }\).

Vậy tàu \(A\) chuyển động theo hướng tạo với vị trí ban đầu của tàu \(B\) một góc \(34{^ \circ }\).

Xét tam giác \(ABC\), ta có \(\hat C = 180{^ \circ } - \left( {\hat B + \hat A} \right) = 180{^ \circ } - \left( {124{^ \circ } + 34{^ \circ }} \right) = 22{^ \circ }\).

Áp dụng định lí sin, ta có

\(\frac{{BC}}{{{\rm{sin}}A}} = \frac{{AB}}{{{\rm{sin}}C}} \Leftrightarrow BC = \frac{{AB \cdot {\rm{sin}}A}}{{{\rm{sin}}C}} \Leftrightarrow 20t \approx \frac{{50 \cdot {\rm{sin}}34{^ \circ }}}{{{\rm{sin}}22{^ \circ }}} \Leftrightarrow t \approx 3,73\) (giờ).

Vậy sau khoảng \(3,73\) giờ thì tàu \(A\) đuổi kịp tàu \(B\).