Câu hỏi:

1. Đặt biến:

Gọi D là điểm trên bờ đối diện mà người đàn ông chèo thuyền đến, với C là điểm đối diện trực tiếp với A qua sông. Đặt khoảng cách từ C đến D là $x$ (km). Khi đó, quãng đường chạy bộ từ D đến B là $8 - x$ (km).

2. Tính quãng đường chèo thuyền:

Chiều rộng sông là $3$ km ($AC = 3$ km).

Theo định lý Pythagore, quãng đường chèo thuyền AD là $\sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{3^2 + x^2} = \sqrt{9+ x^2}$ (km).

3. Tính thời gian di chuyển:

*   Thời gian chèo thuyền từ A đến D là $t_{chèo} = \dfrac{\text{quãng đường chèo}}{\text{tốc độ chèo}} = \dfrac{\sqrt{9+x^2}}{6}$ (giờ).

*   Thời gian chạy bộ từ D đến B là $t_{chạy} = \dfrac{\text{quãng đường chạy}}{\text{tốc độ chạy}} = \dfrac{8-x}{8}$ (giờ).

4. Xây dựng hàm tổng thời gian:

Tổng thời gian $T(x)$ để người đàn ông đến B là:

$T(x) = t_{chèo} + t_{chạy} = \dfrac{\sqrt{9+x^2}}{6} + \dfrac{8-x}{8}$, với $0 \le x \le 8$.

5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm thời gian:

Để tìm thời gian ngắn nhất, chúng ta cần tìm đạo hàm của $T(x)$ và đặt nó bằng $0$.

$T'(x) = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{2x}{2\sqrt{9+x^2}} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{x}{6\sqrt{9+x^2}} - \dfrac{1}{8}$.

Đặt $T'(x) = 0: \dfrac{x}{6\sqrt{9+x^2}} - \dfrac{1}{8} = 0$

$\Rightarrow \dfrac{x}{6\sqrt{9+x^2}} = \dfrac{1}{8} \Rightarrow 8x = 6\sqrt{9 + x^2} \Rightarrow 4x = 3\sqrt{9 + x^2}$.

Bình phương hai vế:

$(4x)^2 = (3\sqrt{9 + x^2})^2 \Rightarrow 16x^2 = 9(9+ x^2) \Rightarrow 16x^2 = 81 + 9x^2 \Rightarrow 7x^2 = 81 \Rightarrow x^2 = \dfrac{81}{7}$.

$\Rightarrow x = \sqrt{\dfrac{81}{7}} = \dfrac{9}{\sqrt{7}}$.

6. Kiểm tra các giá trị tại biên và điểm cực trị:

Chúng ta cần tính $T(x)$ tại $x = 0$, $x = 8$ và $x = \dfrac{9}{\sqrt{7}}$.

*   $T(0) = \dfrac{\sqrt{9+0^2}}{6} + \dfrac{8-0}{8}  = 1.5$ (giờ).

*   $T(8) = \dfrac{\sqrt{9+8^2}}{6} + \dfrac{8-8}{8}  \approx 1.427$ (giờ).

*   $T\left(\dfrac{9}{\sqrt{7}}\right) = \dfrac{\sqrt{9+\left(\dfrac{9}{\sqrt{7}}\right)^2}}{6} + \dfrac{8-\dfrac{9}{\sqrt{7}}}{8} \approx 1.33 $ (giờ)

Thời gian ngắn nhất để người đàn ông đến B là khoảng 1.33 giờ.

Gọi \(V\) là thể tích của khối hộp chữ nhật không nắp.

Khi đó chiều dài và chiều rộng của đáy hộp là \(12 - 2x\), chiều cao là \(x\).

Ta có: \(V = x(12-2x)^2 = x(144 - 48x + 4x^2) = 4x^3 - 48x^2 + 144x\)

Để tìm \(x\) để \(V\) lớn nhất, ta tìm đạo hàm của \(V\) theo \(x\) và giải phương trình \(V' = 0\).

\(V' = 12x^2 - 96x + 144\)

\(V' = 0 \Leftrightarrow 12x^2 - 96x + 144 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 8x + 12 = 0\)

\(\Delta' = (-4)^2 - 12 = 16 - 12 = 4\)

\(x_1 = \frac{4 + 2}{1} = 6\) (loại vì \(x < 6\))

\(x_2 = \frac{4 - 2}{1} = 2\) (nhận)

Vậy, \(x = 2\) cm thì thể tích của khối hộp lớn nhất.

Gọi \(\overrightarrow{P}\) là trọng lực của đèn.

Ta có: \(\overrightarrow{P} + \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow{0}\)

Suy ra \(\overrightarrow{P} = -(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} )\)

Vì \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\overrightarrow {{F_3}} \) đôi một vuông góc nên:

\(P = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + F_3^2} = \sqrt{3 \cdot 15^2} = 15\sqrt{3} \approx 26 N\)

Vậy trọng lượng của đèn tròn là 26 N.

Từ đồ thị ta thấy:

+ Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng $(-1 ; 0)$ và $(1 ;+\infty)$;

+ Hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(0 ; 1)$.

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $f^{\prime}(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm $x=0$ nên hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm $x=0$.