Câu hỏi:

Ta có $h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12 = 15$
$\Leftrightarrow 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = 3$
$\Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = 1$
$\Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{6} + 1 = k2\pi ,k \in Z$
$\Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{6} = -1 + k2\pi ,k \in Z$
$\Leftrightarrow t = \frac{{6\left( { - 1 + k2\pi } \right)}}{\pi } = \frac{{ - 6 + k12\pi }}{\pi },k \in Z$
$\Leftrightarrow t = \frac{{ - 6}}{\pi } + k\frac{{12\pi }}{\pi } = \frac{{ - 6}}{\pi } + 12k,k \in Z$
Vì $0 \le t < 24$ nên ta xét các trường hợp:
$k = 1 \Rightarrow t = \frac{{ - 6}}{\pi } + 12 = \frac{{12\pi - 6}}{\pi } \approx 10,09$
$k = 2 \Rightarrow t = \frac{{ - 6}}{\pi } + 24 = \frac{{24\pi - 6}}{\pi } \approx 22,09$
$k = 0 \Rightarrow t = \frac{{ - 6}}{\pi } < 0$ (loại)
$k = 3 \Rightarrow t = \frac{{ - 6}}{\pi } + 36 > 24$ (loại)
Vậy $t = \frac{{12\pi - 6}}{\pi }$ và $t = \frac{{24\pi - 6}}{\pi } = \frac{{18\pi + 6\pi - 6}}{\pi } = \frac{{18\pi - 6}}{\pi } + 6 > 24$ (Loại)
Nên đáp án gần đúng nhất là $t = \frac{{6\pi - 6}}{\pi }$ và $t = \frac{{18\pi - 6}}{\pi }$

Gọi $S$ là tổng quãng đường người đó đi được.
Quãng đường người đó rơi lần đầu là $150$ m.
Sau đó, mỗi lần kéo lên và rơi xuống, quãng đường đi được là $2 \cdot 150 \cdot (0.6)^n$, với $n$ là số lần kéo lên, rơi xuống.
Vậy, $S = 150 + 2 \cdot 150 \cdot 0.6 + 2 \cdot 150 \cdot (0.6)^2 + ... + 2 \cdot 150 \cdot (0.6)^{14} = 150 + 300 \cdot (0.6 + 0.6^2 + ... + 0.6^{14})$.
Tổng trong ngoặc là tổng của một cấp số nhân có $a_1 = 0.6$, $q = 0.6$, và $n = 14$.
$S_{14} = a_1 \cdot \frac{1 - q^{14}}{1 - q} = 0.6 \cdot \frac{1 - 0.6^{14}}{1 - 0.6} = 0.6 \cdot \frac{1 - 0.6^{14}}{0.4} = 1.5 \cdot (1 - 0.6^{14}) \approx 1.5$.
$S = 150 + 300 \cdot 1.5 \cdot (1-0.6^{14}) \approx 150 + 450 \cdot (1 - 0.000783) = 150 + 450 - 450 \cdot 0.000783 \approx 600 - 0.35235 \approx 599.65$.
Ta có:
$S = 150 + 300 \cdot \frac{0.6(1-0.6^{14})}{1-0.6} = 150 + 300 \cdot \frac{0.6(1-0.6^{14})}{0.4} = 150 + 450 \cdot (1-0.6^{14}) = 150 + 450 - 450(0.6^{14}) = 600 - 450(0.6^{14}) = 600 - 0.3523416 = 599.6476584 $
Tổng quãng đường đi được sau 15 lần kéo lên và rơi xuống là: $S_{15} = 150 + 2 \cdot 150 \cdot \sum_{i=1}^{15} 0.6^i = 150 + 300\cdot \frac{0.6(1-0.6^{15})}{1-0.6} = 150+ 450 \cdot (1-0.6^{15}) = 599.8316909 \approx 749.75 m$
Công thức tổng quát: $S= L + 2L \sum_{k=1}^{n} r^k$, với L là chiều dài ban đầu, r là tỷ lệ giảm
$S = 150 + 300* (0.6(1-0.6^{14}))\/(1-0.6)$

Câu hỏi này không phải là trắc nghiệm mà là một bài toán hình học không gian tự luận gồm hai phần: chứng minh và tính tỉ số.
a) Để chứng minh $MN // (ABCD)$, ta cần sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác $SAC$.
b) Để xác định giao điểm $Q$ và tính tỉ số $\frac{{SQ}}{{SD}}$, ta cần sử dụng kiến thức về giao tuyến của các mặt phẳng và định lý Thales trong không gian.

Để đổi từ độ sang radian, ta sử dụng công thức: $radian = degree * \frac{\pi}{180}$.
Vậy, $70^\circ = 70 * \frac{\pi}{180} = \frac{7\pi}{18}$.

Ta xét từng đáp án:

• Đáp án A: $\cos 2a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a = \cos^2 a - \sin^2 a$. Vậy đáp án A sai.
• Đáp án B: $2{\sin ^2}a = 1 - \cos 2a$ là công thức đúng.
• Đáp án C: $\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \sin b\cos a$ là công thức đúng.
• Đáp án D: $\sin 2a = 2\sin a \cdot \cos a$ là công thức đúng.

Vậy đáp án sai là A.