Câu hỏi:

Mặt phẳng $(ABCD)$ chứa các cạnh $AB, BC, CD, DA$.

• Đáp án A: $\overrightarrow{DD'}$ có giá là đường thẳng $DD'$ vuông góc với $(ABCD)$ nên loại.


• Đáp án B: $\overrightarrow{AD'}$ có giá là đường thẳng $AD'$ không nằm trong $(ABCD)$ nên loại.


• Đáp án C: $\overrightarrow{AD'}$ có giá là đường thẳng $AD'$ không nằm trong $(ABCD)$ nên loại.


• Đáp án D: Cả $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AD}$ đều nằm trong $(ABCD)$.

Ta có $\vec{a} = 2\vec{i} + \vec{k} - 3\vec{j} = 2\vec{i} - 3\vec{j} + \vec{k}$.
Vậy tọa độ của $\vec{a}$ là $(2; -3; 1)$.

Ta có $\overrightarrow{MN} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{u} = -\frac{1}{2}(4;-2;6) = (-2;1;-3)$.

Giả sử $N(x;y;z)$.

Khi đó $\overrightarrow{MN} = (x-4; y-1; z+2)$.

Suy ra: $x-4 = -2 \Rightarrow x = 2$; $y-1 = 1 \Rightarrow y = 2$; $z+2 = -3 \Rightarrow z = -5$.

Vậy $N(2;2;-5)$.

Ta có:
* $AM = 2BM \Rightarrow \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{BM} \Rightarrow \overrightarrow{AM} = 2(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AM}) \Rightarrow \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{BA} + 2\overrightarrow{AM} \Rightarrow -\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{BA} \Rightarrow \overrightarrow{MA} = 2\overrightarrow{BA} \Rightarrow \overrightarrow{MA} = -2\overrightarrow{AB} \Rightarrow \overrightarrow{AM} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB}$
* $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ $\Rightarrow \overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD})$
* $\overrightarrow{MG} = \overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) - \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$
Vậy đáp án đúng là $\overrightarrow{MG} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$.

Tam giác OAB vuông tại O.

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền.

Gọi I là trung điểm AB, ta có: $I(\frac{4+0}{2}; \frac{0+2}{2}; \frac{0+0}{2}) = I(2; 1; 0)$.