Câu hỏi:

Ta có $\widehat{C} = 180^{\circ} - \widehat{A} - \widehat{B} = 180^{\circ} - 105^{\circ} - 45^{\circ} = 30^{\circ}$.

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC, ta có:

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \Rightarrow \frac{AB}{AC} = \frac{\sin C}{\sin B} = \frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Có vẻ như không có đáp án nào đúng với kết quả này. Tuy nhiên, có thể đề bài hoặc các đáp án có vấn đề. Để giải thích đáp án C, ta xét:

Nếu $\frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{6}}{3}$, thì$\frac{\sin C}{\sin B} = \frac{\sqrt{6}}{3} \Rightarrow \frac{\sin 30}{\sin B} = \frac{\sqrt{6}}{3} \Rightarrow \sin B = \frac{\sin 30 \cdot 3}{\sqrt{6}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 3}{\sqrt{6}} = \frac{3}{2\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{4} \approx 0.612 \Rightarrow B \approx 37.76^{\circ}$

Nếu đề bài cho $\widehat{A}=75^{\circ}$ thì $\widehat{C} = 180^{\circ} - 75^{\circ} - 45^{\circ}=60^{\circ}$.
Khi đó $\frac{AB}{AC}=\frac{\sin C}{\sin B} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ nên không có đáp án đúng.
Tuy nhiên, nếu góc A là $105^\circ$ thì góc C là $30^\circ$, ta có: $\frac{AB}{AC} = \frac{\sin C}{\sin B} = \frac{\sin 30}{\sin 45} = \frac{1/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Vậy đáp án B đúng. (Có lẽ đáp án C là một lỗi đánh máy). Nếu đáp án C là $\frac{\sqrt{3}}{3}$ thì $\frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ không thoả mãn.
Xét trường hợp khác: $\frac{AB}{AC} = \frac{BC}{AC}$. Áp dụng định lý hàm sin ta có $\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$.
$\frac{BC}{AC} = \frac{\sin A}{\sin B} = \frac{\sin 105}{\sin 45} = \frac{\sin(60+45)}{\sin 45} = \frac{\sin 60 \cos 45 + \cos 60 \sin 45}{\sin 45} = \sin 60 + \cos 60 = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}+1}{2} \approx 1.366$. Không có đáp án nào đúng.