Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có bảng biến thiên như hình vẽ
a) Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2.
c) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là \(I\left( {1;2} \right)\).
d) Có 2024 số nguyên \(m\) trên \(\left[ { - 2024;2024} \right]\) để phương trình \(\left| {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right| = m\) có hai nghiệm phân biệt.
Trả lời:
Đáp án đúng:
Từ bảng biến thiên ta có:
- Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$ nên a sai.
- Hàm số không có giá trị nhỏ nhất vì không tồn tại $x$ để $f(x) = 2$. Do đó b sai.
- Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$. Suy ra tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $I(1;2)$. Do đó c đúng.
- Để $\left| {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right| = m$ có hai nghiệm phân biệt thì $m > 2$ hoặc $m=0$. Vì $m$ nguyên và $m \in [-2024; 2024]$ nên $m \in \{3, 4, ..., 2024\} \cup \{0\}$. Vậy có $2022+1 = 2023$ giá trị $m$. Do đó d sai.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng:
Ta xét từng mệnh đề:
a) Với $m=1$, ta có $y = x^3 - 3x^2 + 2025$. Suy ra $y' = 3x^2 - 6x$. Giải $y'=0$ ta được $x=0$ hoặc $x=2$.
$y'' = 6x-6$. Khi $x=2$ thì $y'' = 6 > 0$, vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$. Vậy a) đúng.
b) Với $m=1$, $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$. Trên khoảng $(0;2)$, $y' < 0$ nên hàm số nghịch biến. Vậy b) sai.
c) Với $m=1$, ta có bảng biến thiên:
$x \rightarrow 0 \rightarrow 2 \rightarrow +\infty$
$y' \rightarrow 0 - 0 +$
$y \rightarrow 2025 \searrow 2021 \nearrow +\infty$
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $(0;+\infty)$ là 2021. Vậy c) sai.
d) Để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên $(0;+\infty)$, thì hàm số phải có cực tiểu. Điều kiện là $y' = 3x^2 - 6mx + 3(m^2-1) = 0$ phải có nghiệm. Tức là $\Delta' = 9m^2 - 9(m^2-1) = 9 > 0$. Vậy hàm số luôn có cực trị.
Ta có $y' = 0$ khi $x = m \pm 1$. Để có giá trị nhỏ nhất trên $(0;+\infty)$, ta cần $m+1 > 0$ hay $m > -1$.
Xét $x_1 = m-1$ và $x_2 = m+1$. Để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên $(0; +\infty)$, ta cần một trong hai điểm cực trị thuộc $(0; +\infty)$. Do $m+1 > m-1$ nên $m-1 > 0$ hay $m>1$.
Nếu $m > 1$ thì $x_1, x_2 > 0$. Khi đó giá trị nhỏ nhất là $y(m+1) = (m+1)^3 - 3m(m+1)^2 + 3(m^2-1)(m+1) + 2025 = (m+1)[(m+1)^2 - 3m(m+1) + 3(m^2-1)] + 2025 = (m+1)(m^2+2m+1-3m^2-3m+3m^2-3) + 2025 = (m+1)(m^2 - m - 2) + 2025 = (m+1)^2(m-2) + 2025$.
Nếu $0 < m+1$ và $m-1 < 0$ thì $-1 < m < 1$. Vậy $m = 0$. Khi đó $y = x^3 - 3x + 2025$. $y'=3x^2-3 = 0$ khi $x = \pm 1$. Khi đó trên $(0; +\infty)$ thì $x=1$. Vậy $y(1) = 1-3+2025 = 2023$.
Để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên $(0; +\infty)$, ta cần $m+1 > 0$. Vậy $m > -1$.
Nếu $m = 0$ thì $y(1) = 2023$.
Mà $m$ nguyên nên $m \in \{0, 1, 2, 3, ...\}$. Vậy có vô số giá trị của $m$. Vậy d) sai.
Vậy a) đúng, b) sai, c) sai, d) sai.
a) Với $m=1$, ta có $y = x^3 - 3x^2 + 2025$. Suy ra $y' = 3x^2 - 6x$. Giải $y'=0$ ta được $x=0$ hoặc $x=2$.
$y'' = 6x-6$. Khi $x=2$ thì $y'' = 6 > 0$, vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$. Vậy a) đúng.
b) Với $m=1$, $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$. Trên khoảng $(0;2)$, $y' < 0$ nên hàm số nghịch biến. Vậy b) sai.
c) Với $m=1$, ta có bảng biến thiên:
$x \rightarrow 0 \rightarrow 2 \rightarrow +\infty$
$y' \rightarrow 0 - 0 +$
$y \rightarrow 2025 \searrow 2021 \nearrow +\infty$
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $(0;+\infty)$ là 2021. Vậy c) sai.
d) Để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên $(0;+\infty)$, thì hàm số phải có cực tiểu. Điều kiện là $y' = 3x^2 - 6mx + 3(m^2-1) = 0$ phải có nghiệm. Tức là $\Delta' = 9m^2 - 9(m^2-1) = 9 > 0$. Vậy hàm số luôn có cực trị.
Ta có $y' = 0$ khi $x = m \pm 1$. Để có giá trị nhỏ nhất trên $(0;+\infty)$, ta cần $m+1 > 0$ hay $m > -1$.
Xét $x_1 = m-1$ và $x_2 = m+1$. Để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên $(0; +\infty)$, ta cần một trong hai điểm cực trị thuộc $(0; +\infty)$. Do $m+1 > m-1$ nên $m-1 > 0$ hay $m>1$.
Nếu $m > 1$ thì $x_1, x_2 > 0$. Khi đó giá trị nhỏ nhất là $y(m+1) = (m+1)^3 - 3m(m+1)^2 + 3(m^2-1)(m+1) + 2025 = (m+1)[(m+1)^2 - 3m(m+1) + 3(m^2-1)] + 2025 = (m+1)(m^2+2m+1-3m^2-3m+3m^2-3) + 2025 = (m+1)(m^2 - m - 2) + 2025 = (m+1)^2(m-2) + 2025$.
Nếu $0 < m+1$ và $m-1 < 0$ thì $-1 < m < 1$. Vậy $m = 0$. Khi đó $y = x^3 - 3x + 2025$. $y'=3x^2-3 = 0$ khi $x = \pm 1$. Khi đó trên $(0; +\infty)$ thì $x=1$. Vậy $y(1) = 1-3+2025 = 2023$.
Để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên $(0; +\infty)$, ta cần $m+1 > 0$. Vậy $m > -1$.
Nếu $m = 0$ thì $y(1) = 2023$.
Mà $m$ nguyên nên $m \in \{0, 1, 2, 3, ...\}$. Vậy có vô số giá trị của $m$. Vậy d) sai.
Vậy a) đúng, b) sai, c) sai, d) sai.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Ta có tọa độ điểm $A(-1;0;3)$. Suy ra $\overrightarrow{OA} = (-1;0;3) = -\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{k}$. Vậy câu a đúng.
Ta có tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là:
$G = \left( \frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3};\frac{z_A+z_B+z_C}{3} \right) = \left( \frac{-1+4+3}{3};\frac{0+2+1}{3};\frac{3+0-3}{3} \right) = (2;1;0)$. Vậy câu b đúng.
$\overrightarrow{CB} = (4-3;2-1;0-(-3)) = (1;1;3)$.
$\overrightarrow{AM} = (a+1;b;c-3)$.
$\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{CB} \Leftrightarrow (a+1;b;c-3) = (3;3;9) \Leftrightarrow a+1=3, b=3, c-3=9 \Leftrightarrow a=2, b=3, c=12$.
Suy ra $a+b+c = 2+3+12 = 17 \ne -13$. Vậy câu c sai.
$M \in Ox$ nên $M(a;0;0)$.
$\overrightarrow{BM} = (a-4;-2;0)$.
$\overrightarrow{AC} = (3-(-1);1-0;-3-3) = (4;1;-6)$.
$BM \perp AC \Leftrightarrow \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{AC} = 0 \Leftrightarrow 4(a-4)-2+0 = 0 \Leftrightarrow 4a-16-2 = 0 \Leftrightarrow 4a = 18 \Leftrightarrow a = \frac{9}{2}$.
Khi đó $M(\frac{9}{2};0;0)$.
$4a^2+b^2+c^2 = 4.\left( \frac{9}{2} \right)^2 + 0^2 + 0^2 = 4.\frac{81}{4} = 81 \ne 162$. Vậy câu d sai.
Ta có tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là:
$G = \left( \frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3};\frac{z_A+z_B+z_C}{3} \right) = \left( \frac{-1+4+3}{3};\frac{0+2+1}{3};\frac{3+0-3}{3} \right) = (2;1;0)$. Vậy câu b đúng.
$\overrightarrow{CB} = (4-3;2-1;0-(-3)) = (1;1;3)$.
$\overrightarrow{AM} = (a+1;b;c-3)$.
$\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{CB} \Leftrightarrow (a+1;b;c-3) = (3;3;9) \Leftrightarrow a+1=3, b=3, c-3=9 \Leftrightarrow a=2, b=3, c=12$.
Suy ra $a+b+c = 2+3+12 = 17 \ne -13$. Vậy câu c sai.
$M \in Ox$ nên $M(a;0;0)$.
$\overrightarrow{BM} = (a-4;-2;0)$.
$\overrightarrow{AC} = (3-(-1);1-0;-3-3) = (4;1;-6)$.
$BM \perp AC \Leftrightarrow \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{AC} = 0 \Leftrightarrow 4(a-4)-2+0 = 0 \Leftrightarrow 4a-16-2 = 0 \Leftrightarrow 4a = 18 \Leftrightarrow a = \frac{9}{2}$.
Khi đó $M(\frac{9}{2};0;0)$.
$4a^2+b^2+c^2 = 4.\left( \frac{9}{2} \right)^2 + 0^2 + 0^2 = 4.\frac{81}{4} = 81 \ne 162$. Vậy câu d sai.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Ta có bảng số liệu của bác tài A:
Ta có bảng số liệu của bác tài B:
Vậy câu a sai.
Do đó, đáp án đúng là A.
- Khoảng biến thiên: $300-50 = 250$
Ta có bảng số liệu của bác tài B:
- Khoảng biến thiên: $250-50 = 200$
Vậy câu a sai.
Do đó, đáp án đúng là A.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Để tìm số đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số, ta cần xét giới hạn của $\frac{f(x)}{x}$ và $f(x) - ax$ khi $x$ tiến tới $+\infty$ và $-\infty$.
* Khi $x \to +\infty$:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x - \sqrt{x^2 - x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(2 - \sqrt{1 - \frac{1}{x}}\right) = 2 - 1 = 1$.
$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to +\infty} (2x - \sqrt{x^2 - x} - x) = \lim_{x \to +\infty} (x - \sqrt{x^2 - x}) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - (x^2 - x)}{x + \sqrt{x^2 - x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x + \sqrt{x^2 - x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1 + \sqrt{1 - \frac{1}{x}}} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$.
Vậy, đường tiệm cận xiên khi $x \to +\infty$ là $y = x + \frac{1}{2}$.
* Khi $x \to -\infty$:
$\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x - \sqrt{x^2 - x}}{x} = \lim_{x \to -\infty} \left(2 - \frac{\sqrt{x^2 - x}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty} \left(2 - \frac{|x|\sqrt{1 - \frac{1}{x}}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty} \left(2 - \frac{-x\sqrt{1 - \frac{1}{x}}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty} \left(2 + \sqrt{1 - \frac{1}{x}}\right) = 2 + 1 = 3$.
$\lim_{x \to -\infty} (f(x) - 3x) = \lim_{x \to -\infty} (2x - \sqrt{x^2 - x} - 3x) = \lim_{x \to -\infty} (-x - \sqrt{x^2 - x}) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - (x^2 - x)}{-x + \sqrt{x^2 - x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{-x + \sqrt{x^2 - x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{-x + |x|\sqrt{1 - \frac{1}{x}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{-x - x\sqrt{1 - \frac{1}{x}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{-1 - \sqrt{1 - \frac{1}{x}}} = \frac{1}{-1 - 1} = -\frac{1}{2}$.
Vậy, đường tiệm cận xiên khi $x \to -\infty$ là $y = 3x - \frac{1}{2}$.
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận xiên.
* Khi $x \to +\infty$:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x - \sqrt{x^2 - x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(2 - \sqrt{1 - \frac{1}{x}}\right) = 2 - 1 = 1$.
$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to +\infty} (2x - \sqrt{x^2 - x} - x) = \lim_{x \to +\infty} (x - \sqrt{x^2 - x}) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - (x^2 - x)}{x + \sqrt{x^2 - x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x + \sqrt{x^2 - x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1 + \sqrt{1 - \frac{1}{x}}} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$.
Vậy, đường tiệm cận xiên khi $x \to +\infty$ là $y = x + \frac{1}{2}$.
* Khi $x \to -\infty$:
$\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x - \sqrt{x^2 - x}}{x} = \lim_{x \to -\infty} \left(2 - \frac{\sqrt{x^2 - x}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty} \left(2 - \frac{|x|\sqrt{1 - \frac{1}{x}}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty} \left(2 - \frac{-x\sqrt{1 - \frac{1}{x}}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty} \left(2 + \sqrt{1 - \frac{1}{x}}\right) = 2 + 1 = 3$.
$\lim_{x \to -\infty} (f(x) - 3x) = \lim_{x \to -\infty} (2x - \sqrt{x^2 - x} - 3x) = \lim_{x \to -\infty} (-x - \sqrt{x^2 - x}) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - (x^2 - x)}{-x + \sqrt{x^2 - x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{-x + \sqrt{x^2 - x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{-x + |x|\sqrt{1 - \frac{1}{x}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{-x - x\sqrt{1 - \frac{1}{x}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{-1 - \sqrt{1 - \frac{1}{x}}} = \frac{1}{-1 - 1} = -\frac{1}{2}$.
Vậy, đường tiệm cận xiên khi $x \to -\infty$ là $y = 3x - \frac{1}{2}$.
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận xiên.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Ta có:
- Vận tốc $v(t) = s'(t) = 12t - 3t^2$
- Gia tốc $a(t) = v'(t) = 12 - 6t$
Để vận tốc đạt giá trị lớn nhất, ta cần $a(t) = 0$.
$12 - 6t = 0 \Rightarrow t = 2$.
Kiểm tra lại: $a'(t) = -6 < 0$, vậy $t = 2$ là thời điểm vận tốc đạt giá trị lớn nhất.
- Vận tốc $v(t) = s'(t) = 12t - 3t^2$
- Gia tốc $a(t) = v'(t) = 12 - 6t$
Để vận tốc đạt giá trị lớn nhất, ta cần $a(t) = 0$.
$12 - 6t = 0 \Rightarrow t = 2$.
Kiểm tra lại: $a'(t) = -6 < 0$, vậy $t = 2$ là thời điểm vận tốc đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
