Câu hỏi:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:

+) $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1 ; \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-1$. Do đó, đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận ngang là các đường thẳng $y=1$ và $y=-1$.

+) $\lim _{x \rightarrow-1^{+}} f(x)=+\infty ; \lim _{x \rightarrow-1^{-}} f(x)=-\infty$. Do đó, đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$.

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng đi qua hai điểm $(1 ; 0)$ và $(0 ;-1)$, chính là đường thẳng $y=x-1$.

Do đó, đường thẳng $y=x-1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Xét hàm số: $y=-x^3-x+2$.

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime}=-3 x^2-1 ; y^{\prime}<0, \forall x \in \mathbb{R}$.

Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên $\mathbb{R}$ nên đồ thị hàm số này đi xuống từ trái qua phải, vậy đường cong ở phương án D thỏa mãn.

Các vectơ có giá nằm trong mặt phẳng $(SCD)$ là: $\overrightarrow{SC}, \overrightarrow{CS}, \overrightarrow{SD}, \overrightarrow{DS}, \overrightarrow{CD}, \overrightarrow{DC}$

Vậy có 6 vectơ.

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Hàm số đã cho là $y = \frac{{3x + 1}}{{1 - x}}$.

Điều kiện để hàm số xác định là mẫu số $1 - x \neq 0$.

Từ đó suy ra $x \neq 1$.

Vậy, tập xác định của hàm số là $\mathscr{D} = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Bước 2: Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số.

Hàm số có dạng $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ với $a = 3$, $b = 1$, $c = -1$, $d = 1$.

Đạo hàm của hàm số này được tính bằng công thức: $y' = \frac{{ad - bc}}{{(cx + d)^2}}$.

Thay các giá trị vào công thức:

$y' = \frac{{3 \cdot 1 - 1 \cdot ( - 1)}}{{{{(1 - x)}^2}}}$

$y' = \frac{{3 - ( - 1)}}{{{{(1 - x)}^2}}}$

$y' = \frac{{3 + 1}}{{{{(1 - x)}^2}}}$

$y' = \frac{{4}}{{{{(1 - x)}^2}}}$

Bước 3: Xét dấu của đạo hàm.

Với mọi $x \in \mathscr{D}$, tức là $x \neq 1$:

*   Tử số là $4$, luôn dương ($4 > 0$).

*   Mẫu số là $(1 - x)^2$, luôn dương với mọi $x \neq 1$ (vì bình phương của một số thực khác 0 luôn dương).

Do đó, $y' = \frac{{4}}{{{{(1 - x)}^2}}} > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Bước 4: Kết luận về tính đơn điệu.

Vì $y' > 0$ trên toàn bộ tập xác định $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng mà nó xác định.

Tập xác định $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$ được chia thành hai khoảng là $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.