Câu hỏi:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Hàm số đã cho là $y = \frac{{3x + 1}}{{1 - x}}$.

Điều kiện để hàm số xác định là mẫu số $1 - x \neq 0$.

Từ đó suy ra $x \neq 1$.

Vậy, tập xác định của hàm số là $\mathscr{D} = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Bước 2: Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số.

Hàm số có dạng $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ với $a = 3$, $b = 1$, $c = -1$, $d = 1$.

Đạo hàm của hàm số này được tính bằng công thức: $y' = \frac{{ad - bc}}{{(cx + d)^2}}$.

Thay các giá trị vào công thức:

$y' = \frac{{3 \cdot 1 - 1 \cdot ( - 1)}}{{{{(1 - x)}^2}}}$

$y' = \frac{{3 - ( - 1)}}{{{{(1 - x)}^2}}}$

$y' = \frac{{3 + 1}}{{{{(1 - x)}^2}}}$

$y' = \frac{{4}}{{{{(1 - x)}^2}}}$

Bước 3: Xét dấu của đạo hàm.

Với mọi $x \in \mathscr{D}$, tức là $x \neq 1$:

*   Tử số là $4$, luôn dương ($4 > 0$).

*   Mẫu số là $(1 - x)^2$, luôn dương với mọi $x \neq 1$ (vì bình phương của một số thực khác 0 luôn dương).

Do đó, $y' = \frac{{4}}{{{{(1 - x)}^2}}} > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Bước 4: Kết luận về tính đơn điệu.

Vì $y' > 0$ trên toàn bộ tập xác định $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng mà nó xác định.

Tập xác định $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$ được chia thành hai khoảng là $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = \sqrt{11 - 2x}$ trên đoạn $[1; 5]$, ta thực hiện các bước sau:

• Tính đạo hàm của hàm số: $f'(x) = \frac{-1}{\sqrt{11-2x}}$


• Vì $f'(x) < 0$ với mọi $x$ thuộc $[1; 5]$, hàm số $f(x)$ nghịch biến trên đoạn này.


• Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại $x = 1$.


• Tính giá trị của hàm số tại $x = 1$: $f(1) = \sqrt{11 - 2(1)} = \sqrt{9} = 3$.

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[1; 5]$ là $3$.

Dựa vào tiệm cận:

* Tiệm cận đứng: $x=-d / c<0$. Điều này có nghĩa là $d / c>0$, suy ra *c và d cùng dấu*.

* Tiệm cận ngang: $y=a / c>0$. Điều này có nghĩa là *a và c cùng dấu*.

Kết hợp hai điều này, ta có $\mathrm{a}, \mathrm{c}, \mathrm{d}$ cùng dấu. Vì đề bài cho *a là số thực dương*, nên suy ra $a>0, c>0, d>0$.

(3) Suy ra dấu của b

Quan sát đồ thị, giao điểm của đồ thị với trục tung (khi $x=0$ ) nằm ở phía âm của trục tung, tức là $y(0)<0$.

Thay $x=0$ vào hàm số, ta có $y(0)=(a \cdot 0+b) /(c \cdot 0+d)=b / d$.

Do đó, $b / d<0$. Vì chúng ta đã xác định $d>0$, suy ra *b phải là số âm*.

Chúng ta đã xác định được:

* $a>0$ (theo đề bài)

${ }^* c>0$

* $d>0$

$* b<0$

Vậy trong các số b, $c, d$, có hai số dương là $c$ và $d$.  

Từ bảng biến thiên, ta thấy trục hoành (đường thẳng y = 0) cắt đồ thị hàm số đã cho tại 4  điểm.

Ta có: $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BM}$

• $\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{a}$


• $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{b}$


• $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BB'} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AA'} = \frac{1}{2}\overrightarrow{c}$

Do đó: $\overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c}$