Câu hỏi:

Ta có $g'(x) = f'(x) + 1$.

Hàm số $g(x)$ đạt cực tiểu khi $g'(x) = 0$ và $g'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương.

$g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) + 1 = 0 \Leftrightarrow f'(x) = -1$.

Dựa vào đồ thị, ta thấy $f'(x) = -1$ tại $x = -1$ và $x = 1$.

Xét dấu của $g'(x)$:

• Khi $x < -1$, $f'(x) < -1 \Rightarrow g'(x) = f'(x) + 1 < 0$


• Khi $-1 < x < 1$, $f'(x) > -1 \Rightarrow g'(x) = f'(x) + 1 > 0$


• Khi $x > 1$, $f'(x) > -1 \Rightarrow g'(x) = f'(x) + 1 > 0$

Vậy, $g'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương tại $x = 1$, và $g(x)$ đạt cực tiểu tại $x=1$.

1. Tìm điểm cực trị

*   Đạo hàm: $f'(x) = e^x (x^2 + 2x - 3)$

   Điểm tới hạn: Cho $f'(x) = 0$, ta được $x^2 + 2x - 3 = 0$, có các nghiệm là $x = -3$ và $x = 1$.

   Điểm xét trên đoạn $[-5; -2]$: Chỉ có $x = -3$ thuộc đoạn này.

2. Tính giá trị hàm số tại các điểm cần thiết

Ta tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút và điểm cực trị $x = -3$:

   Tại $x = -5$: $f(-5) = e^{-5} (25 - 3) = \frac{22}{e^5}$

   Tại $x = -3$: $f(-3) = e^{-3} (9 - 3) = \frac{6}{e^3}$

   Tại $x = -2$: $f(-2) = e^{-2} (4 - 3) = \frac{1}{e^2}$

3. Xác định Giá trị lớn nhất $M$

* So sánh các giá trị $\frac{22}{e^5}$, $\frac{6}{e^3}$ và $\frac{1}{e^2}$.

* Ta có $\frac{6}{e^3} = \frac{6 \cdot e^2}{e^5}$. Vì $e^2 \approx 7.389$, nên $6e^2 \approx 44.334$.

* Do $44.334 > 22$, suy ra $\frac{6e^2}{e^5} > \frac{22}{e^5}$.

* Ta có $\frac{6}{e^3} = \frac{6}{e} \cdot \frac{1}{e^2}$. Vì $6 > e$, suy ra $\frac{6}{e} > 1$, do đó $\frac{6}{e^3} > \frac{1}{e^2}$.

Giá trị lớn nhất là:

$M = \max \left\{ \frac{22}{e^5}, \frac{6}{e^3}, \frac{1}{e^2} \right\} = \frac{6}{e^3}$

4. Tính giá trị của biểu thức $P = a + b$

Giá trị lớn nhất có dạng $M = \frac{a}{e^b}$.

Ta có $M = \frac{6}{e^3}$.

Suy ra:

* $a = 6$

* $b = 3$

Giá trị của biểu thức $P$ là: \(P=6+3=9\)

Ta có $\overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB'}$ và $\overrightarrow{BC'} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'}$.

Khi đó:

$\overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{BC'} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB'}).(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'}) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CC'} + \overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{CC'}$

Vì $ABC.A'B'C'$ là lăng trụ đứng nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{BC} = 0$.

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{BC}|.cos(120^\circ) = a.a.(-\frac{1}{2}) = -\frac{a^2}{2}$

$\overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{CC'} = |\overrightarrow{BB'}|.|\overrightarrow{CC'}|.cos(0^\circ) = a\sqrt{2}.a\sqrt{2}.1 = 2a^2$

Do đó $\overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{BC'} = -\frac{a^2}{2} + 2a^2 = \frac{3a^2}{2}$

Mặt khác:

$|\overrightarrow{AB'}| = \sqrt{AB^2 + BB'^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

$|\overrightarrow{BC'}| = \sqrt{BC^2 + CC'^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

$\Rightarrow cos(\overrightarrow{AB'}, \overrightarrow{BC'}) = \frac{\overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{BC'}}{|\overrightarrow{AB'}|.|\overrightarrow{BC'}|} = \frac{\frac{3a^2}{2}}{a\sqrt{3}.a\sqrt{3}} = \frac{\frac{3a^2}{2}}{3a^2} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow (\overrightarrow{AB'}, \overrightarrow{BC'}) = 60^\circ$.

Ta có $M(x) = \frac{{0,0001{x^2} + 0,2x + 10000}}{x} = 0,0001x + 0,2 + \frac{{10000}}{x}$.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của $M(x)$, ta tìm đạo hàm:

$M'(x) = 0,0001 - \frac{{10000}}{{{x^2}}}$.

$M'(x) = 0 \Leftrightarrow 0,0001 = \frac{{10000}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{10000}}{{0,0001}} = 100000000 \Leftrightarrow x = 10000$ (vì $x \ge 1$).

Xét bảng biến thiên của $M(x)$:

Vậy $M(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 10000$.

Tuy nhiên, các đáp án không có 10000. Kiểm tra lại đề bài, có lẽ đã có sự nhầm lẫn về số 0. Nếu $f(x) = 0.001x^2 + 0.2x + 1000$, thì $M(x) = 0.001x + 0.2 + \frac{1000}{x}$. Khi đó, $M'(x) = 0.001 - \frac{1000}{x^2}$.

$M'(x) = 0$ khi $0.001 = \frac{1000}{x^2}$, suy ra $x^2 = 1000000$, nên $x = 1000$.

Giả sử miếng bìa hình vuông $ABCD$, đáy của hình chóp tứ giác đều là hình vuông $MNPQ$ tâm $O$ có cạnh bằng $x$ dm ($0 < x < 6\sqrt{2}$) như hình vẽ. Gọi $H, K$ lần lượt là trung điểm của $MQ$ và $NP$.

Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $6$ dm nên $AC = 6\sqrt{2}$ dm, $HK = x$ dm.

Ta có $AH = \dfrac{AC-HK}{2} = 3\sqrt{2} - \dfrac{x}{2}$ dm.

Đường cao của hình chóp tứ giác đều là:

$h = AO = \sqrt{AH^2 - OH^2} = \sqrt{\left(3\sqrt{2}-\dfrac{x}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{x}{2}\right)^2} = \sqrt{18-3\sqrt{2}x}$ (dm).

Thể tích của khối chóp là:

$V = \dfrac{1}{3}h x^2 = \dfrac{1}{3}x^2\sqrt{18-3\sqrt{2}x} = \dfrac{1}{3}\sqrt{x^4(18-3\sqrt{2}x)}$ (dm$^3$).

Để tìm giá trị lớn nhất của $V$ ta đi tìm giá trị lớn nhất của hàm số

$f(x) = x^4(18 – 3\sqrt{2}x)$ với $0 < x \le 3\sqrt{2}$.

Ta có: $f'(x) = x^3(-15\sqrt{2}x + 72)$, $f'(x) = 0$ khi $x = 0$ hoặc $x = \dfrac{12\sqrt{2}}{5}$.

Bảng biến thiên của hàm số $f(x)$ như sau:

Từ bảng biến thiên, ta có $\max\limits_{(0;3\sqrt{2}]} f(x) = f\left(\dfrac{12\sqrt{2}}{5}\right) \approx 477, 76$.

Vậy thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng $V_{\max} \approx \dfrac{1}{3}\sqrt{477,76} \approx 7,3$ (dm$^3$).