Câu hỏi:

Ta có:
$A = \frac{{2{{\cos }^2}2\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - 1}}{{2{{\sin }^2}2\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - 1}}$


$= \frac{{{{\cos }^2}2\alpha - {{\sin }^2}2\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha + {{\cos }^2}2\alpha - 1}}{{ - {{\cos }^2}2\alpha + {{\sin }^2}2\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha + {{\sin }^2}2\alpha - 1}}$


$= \frac{{\cos 4\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - {{\sin }^2}2\alpha - {{\cos }^2}2\alpha}}{{ - \cos 4\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - {{\cos }^2}2\alpha - {{\sin }^2}2\alpha}}$


$= \frac{{\cos 4\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - 1}}{{ - \cos 4\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - 1}}$


$= \frac{{\cos 4\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - 2{{\sin }^2}30^\circ - 2{{\cos }^2}60^\circ }}{{ - \cos 4\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - {{\sin }^2}30^\circ - {{\cos }^2}60^\circ }}$


$= \frac{{\cos 4\alpha + 2\sin 60^\circ \sin 4\alpha - 2{{\sin }^2}30^\circ }}{{ - \cos 4\alpha + 2\sin 60^\circ \sin 4\alpha - 1}}$


$= \frac{{2(\frac{1}{2}\cos 4\alpha + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 4\alpha ) - 1}}{{ - (\cos 4\alpha + 1) + \sqrt 3 \sin 4\alpha }}$


$= \frac{{2(\cos 30^\circ \sin 4\alpha + \sin 30^\circ \cos 4\alpha ) - 1}}{{ - (\cos 4\alpha + 1) + \sqrt 3 \sin 4\alpha }}$


$= \frac{{2\cos (4\alpha - 30^\circ )}}{{2\cos (4\alpha + 30^\circ )}} = \frac{{\cos (4\alpha - 30^\circ )}}{{\cos (4\alpha + 30^\circ )}}$

Hàm số $y = \sin x$ đồng biến trên các khoảng có dạng $\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)$, với $k \in \mathbb{Z}$.


Ta xét các đáp án:

• Đáp án A: $\left( {\frac{{19\pi }}{2};10\pi } \right) = \left( {9.5\pi ;10\pi } \right)$. Khoảng này không nằm hoàn toàn trong khoảng đồng biến của hàm sin.


• Đáp án B: $\left( { - 6\pi ; - 5\pi } \right)$. Khoảng này không nằm hoàn toàn trong khoảng đồng biến của hàm sin.


• Đáp án C: $\left( { - \frac{{7\pi }}{2}; - 3\pi } \right) = \left( { - 3.5\pi ; - 3\pi } \right)$. $\sin x$ đồng biến trên $\left( { - \frac{{7\pi }}{2}; - 3\pi } \right)$ vì $\left( { - \frac{{7\pi }}{2}; - 3\pi } \right) = \left( { - \frac{{3\pi }}{2} - 2\pi ;\frac{{ - \pi }}{2} - 2\pi } \right)$, thuộc dạng $\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)$ với $k=-1$.


• Đáp án D: $\left( {7\pi ;\frac{{15\pi }}{2}} \right) = \left( {7\pi ;7.5\pi } \right)$. Khoảng này không nằm hoàn toàn trong khoảng đồng biến của hàm sin.

Vậy đáp án đúng là C.

Ta có: $\sin x = - \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)$
$\Leftrightarrow \sin x = \sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} - x + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{3} + x + k2\pi \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\0x = \frac{2\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi $ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$. Vậy đáp án là $x = - \frac{\pi }{6} + k\pi $

Ta có $\sin x - \sqrt 3 \cos x = 1$ tương đương với:
$ \frac{1}{2}\sin x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \sin x\cos \frac{\pi }{3} - \cos x\sin \frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{6}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ x - \frac{\pi }{3} = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ \end{gathered} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \\ \end{gathered} \right.$, $k \in \mathbb{Z}$
Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi$ hoặc $x = - \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi$.